STATISTIKA DASAR

Informatics Eng. Department UNIJOYO

STATISTIKA DASARVariabel Random Kontinue dan Distribusi

Probabilitas

Abdullah Basuki R.,S.Si,M.TAbdullah Basuki R.,S.Si,M.T

Informatics Engineering DepartmentInformatics Engineering Department

Trunojoyo UniversityTrunojoyo University

Probabilitas - Bagian 3 2


Variabel Random KontinyuDistribusi Probabilitas UniformDistribusi Probabilitas EksponensialDistribusi Probabilitas NormalDistribusi Porbabilitas GammaDistribusi Probabilitas Weibull

Distribusi Probabilitas Kontinyu5



6.56.05.55.04.54.03.53.02.52.01.51.0

0.15

0.10

0.05

0.00

Minutes

P(x )

Minutes to Complete Task: By Half-Minutes

0.0. 0 1 2 3 4 5 6 7Minutes

P(x )

Minutes to Complete Task: Fourths of a Minute

Minutes

P( x)

Minutes to Complete Task: Eighths of a Minute

0 1 2 3 4 5 6 7

Interval waktu dapat dibagi menjadi:Interval 0.5 menit Interval 0.25 menit Interval 0.125 menit

Interval kecil tak terbatas Jika sebuah variabel random diskrit dibagi menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka perhitungan probabilitasnya ditentukan oleh sebuah rentangnilai dan nilai probabilitas adalah luas area di bawah kurva dalam rentang tersebut. Untuk contoh di samping, dinyatakan dengan P(2<X<3).

Jika sebuah variabel random diskrit dibagi menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka perhitungan probabilitasnya ditentukan oleh sebuah rentangnilai dan nilai probabilitas adalah luas area di bawah kurva dalam rentang tersebut. Untuk contoh di samping, dinyatakan dengan P(2<X<3).

76543210

Minutes

f(z)

Dari Diskrit Menjadi Kontinyu



Variabel Random Kontinyu

Variabel Random Kontinyu adalah sebuah variabel random yang dapat berupa sembarang nilai pada suatu interval yang diamati.

Probabilitas dari variabel random kontinyu X ditentukan oleh sebuah fungsi densitas, dinotasikan dengan f(x), dan memiliki beberapa sifat berikut.

f(x) > 0 untuk setiap nilai x. Probabilitas bahwa X berada diantara dua nilai a dan b adalah sama dengan luas area dibawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b. Total luas area di bawah kurva f(x) adalah 1.00.



Fungsi Densitas dan Kumulatif

F(x)

f(x)x

x0

0

ba

F(b)

F(a)

1

ba

}

P(a < X < b) = Area di bawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b = F(b) - F(a)

P(a X b)=F(b) - F(a)

Fungsi kumulatif

Fungsi densitas



Distribusi Uniform Kontinyu (1)

Densitas uniform [0,5] : 1/5 for 0 < X < 5 f(x)= 0 lainnya E(X) = 2.5

{

6543210-1

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0.

x

f(x)

Total luas area f(x) = 1/5 * 5 = 1.00

Luas area di bawah f(x) Interval 1 sampai 3 = P(1<X<3) = 2.(1/5) = 2/5

Distribusi Uniform




Definisi:Jika variabel random X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinan

kemunculan yang sama maka dikatakan bahwa variabel random (kontinyu) x mengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas probabilitas:

1/( - ), untuk <x<f(x)=

0 untuk x lainnya.

Ekspektasi dan variansi: E(X)=(+)/2 dan V(X)= ( - )2/12

{




Contoh: • Dalam program komputer simulai terdapat subrutin pembangkit

bilangan random uniform dalam interval [0,10]. Sebuah proses simulasi akan akan berhenti (terminate) bila terjadi kemunculan sebuah bilangan random [3/2 , 7/2]. Jika dilakukan replikasi pembangkitan bilangan random, berapa kemungkinan proses tersebut akan berhenti (terminate)?

• Persoalan tersebut mengikuti distribusi uniform kontinyu dengan fungsi f(x)=1/10 untuk [1,10], dengan demikian probabilitas bahwa proses simulasi akan berhenti adalah P(3/2<x<7/2)=0,2.



Distribusi Eksponensial (1)

Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat dengan distribusi Poisson (dari proses poisson) jika persoalan didekati dari variabel interval antar kedatangan.

D a r i u r a i a n t e n t a n g d i s t r i b u s i p o i s s o n d i p e r o l e hk e m u n g k i n a n t i d a k a d a k e d a t a n g a n s e b a g a i tep )0( .K e m u n g k i n a n i n i d a p a t d i i n t e r p r e t a s i k a n s e b a g a ik e m u n g k i n a n b a h w a t i d a k a d a k e j a d i a n k e d a t a n g a n p a d ar e n t a n g w a k t u s a m p a i t e r j a d i n y a k e d a t a n g a n p e r t a m a l e b i hb e s a r d a r i t a t a u 0 ,)()0( tetTPp t .

U n t u k v a r i a b e l r a n d o m w a k t u k e d a t a n g a n T , m a k a d a p a td i p e r o l e h b e s a r n y a k e m u n g k i n a n m e l a l u i

0 ,1)()( tetTPtF t . D e n g a n d e m i k i a n d i p e r o l e h.0 ,)(')( tetFtf t




Definisi:Sebuah variabel random (kontinyu) X menyatakan intervalwaktu antar kedatangan dimana kejadian kedatangantersebut mengikuti proses Poisson, dikatakan mengikutidistribusi eksponensial dengan fungsi distribusi:

lainnya. x 0

0 )(

xexf x

Parameter pemusatan dan penyebaran adalah sebagaiberikut :

0

x- e)( dxxXE /1 dan 20

2 /1 )(

dxexXV x 2/1




• Sebuah peralatan dilengkapi dengan komponen pengaman untuk melindungi peralatan dari kegagalan. Berdasarkan data dan pengamatan yang panjang, komponen pengaman tersebut memiliki daya tahan yang dinyatakan oleh variabel random satuan waktu (minggu) T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter =1/5. Saat ini perusahaan memiliki 5 set peralatan terpisah (independent) dimana masing-masing dilengkapi dengan komponen pengaman yang diasumsikan identik. Dari perhitungan pesanan masuk yang harus dipenuhi, perusahaan menginkan peralatan tersebut tidak mengalami kegagalan total untuk memenuhi pesanan yang direncanakan akan dipenuhi dalam 8 minggu. Jika diinginkan paling sedikit dua peralatan dapat beroperasi untuk memenuhi pesanan tersebut, berapa besar kemungkinan tersebut terjadi?




Dalam kasus tersebut, perusahaan harus dapat memperkirakanketersediaan (availability) bahwa sebuah peralatan masih dapatbekerja selama paling sedikit 8 minggu. Kemungkinan bahwasuatu komponen pengaman masih akan berfungsi setelah 8

minggu adalah

8

5/

5

1)8( dteTP t = e-8/5~ 0,2.

Selanjutnya, misalkan X sebagai variabel random yangmenyatakan banyaknya komponen pengaman yang masihberfungsi setelah 8 minggu dengan kemungkinan p=0.2, denganmenggunakan fungsi distribusi kemungkinan binomial, dapatdiperoleh kemungkinan paling sedikit dua peralatan dapatberoperasi sebagai berikut

5

2

)2.0,5;()2(x

xbXP =1-

1

0

)2.0,5;(x

xb = 0,68.



Untuk p0,5 dan dengan meningkatnya n, distribusi binomial menjadi …

n = 6 n = 14n = 10

6543210

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)

Binomial D is tribution: n=6, p=.5

109876543210

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x

)

Binomial D istribution: n=10, p=.5

14131211109876543210

0.3

0.2

0.1

0.0

x

P(x)

Binomial D istribution: n=14, p=.5

50-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

f(x)

Normal Distribution: = 0, = 1

Distribusi Probabilitas Normal (1)

Distribusi yang berbentuk kurva sepertilonceng (bell)




• Distribusi kemungkinan variabel random kontinyu yang terpenting dalam statistika adalah distribusi normal, yang merupakan variabel random yang berasal dari proses random dengan satu titik pemusatan dan menyebar disekitar titik pemusatan tersebut secara simetris.

• Dikenal sebagai distribusi Gauss, sebagai orang pertama yang mempublikasikannya pada tahun 1809 (bentuk matematika pertama kali diturunkan dari distribusi binomial oleh DeMoivre 1733 dan Laplace 1775) dan selanjutnya dipromosikan sebagai sebuah dalil probabilitas untuk setiap variabel random kontinyu.



Fungsi densitas probabilitas normal:

50-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

x

f(x)



xxfx

e2

1)(

221 /-

D efi n is iSebuah variabe l random (ko n tin yu ) x ( x ) d ikatakan m eng iku tid istribusi n o rm al dengan param eter lokasi pem u satan dan param eterpenyebaran ( variansi) 02 j ika m eng iku ti fu ngsi d istrib usi

kem ung kinan beriku t :

xxfx

e2

1)(

221 /-

d im ana ...14159,3 dan e = 2 ,71828… (b ilangan natu ra l) .



• Kurva normal membentuk: Kurva lonceng dan berdistribusi simetris, sehingga setengah (.50

or 50%) bagian akan berada di salah satu sisi dari rata-rata. Setiap kurva dicirikan oleh pasangan rata-rata, , dan variansi,

, dan dintayakan dengan: [X~N()]. Setiap kurva bersifat asymptotik. Luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal

dalam rantang k dari adalah sama untuk setiap distribusi, berapapun besarnya nilai rata-rata dan variansi.





Distribusi ini digunakan sangat luas dan seringkalidinotasikan dengan 2 ~ , NX .

Jika dan diketahui maka lokasi dan bentuk kurvanormal dapat diketahui.

Nilai parameter (parameter lokasi) yang semakinbesar akan menggeser kurva ke kanan, dan nilaiparameter (parameter bentuk) yang semakinmembesar akan menyebabkan kurva normal semakinlandai (memperbesar jarak dari pemusatan ke posisititik-titik belok kurva).




B e b e ra p a s ifa t p e n tin g fu n g s i d e n sita s p ro b a b ilita s n o rm a l:

i. L u as d ae rah d i b aw ah ku rva

1 )( dxxf .

D en g an m e laku kan tran s fo rm as i lin ie r /)( xy , akand ip e ro leh fu n g s i d is tr ib u s i kem u n g k in an n o rm a l s tan d a r

221

2

1)(

yeyf

. K em u d ian d efi n is ikan b en tu k satu an b e riku t

dyeIy

221

2

1

,

d an p e rtim b an g kan seb u ah b en tu k sa tu an d a ri va r iab e l ran d o mZ yan g ju g a m en g iku ti fu n g s i d is tr ib u s i ke m u n g k in a n n o rm a l s ta n d a r

dzeIz

221

2

1

.




Selan ju tnya defin isikan perkalian kedua ben tuk satuantersebu t sebagai beriku t

dzdyedzedyeIzyzy

2

1=

2

1

2

1 )(222

212

212

21

.

G unakan transfo rm asi beriku t cosdan ,sin rzry , m akadapat d ipero leh

.1 2

1

0

2

00

22

212

21

drerdrderIrr

K arena 12 I , m aka 12

1 221

dyeI

y

.

ii. U ntuk setiap n ila i variabe l random X , n ila i 0)( xf .




iii. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal bersifatassymptotic pada kedua sisinya (tail), atau 0)(lim

x

xf dan

0)(limx

xf .

iv. Kurva fungsi distribusi kemungkinan normal simetris di kiridan kanan lokasi pemusatan , atau xfxf .

v. Nilai maksimum (modus) dari kurva fungsi distribusikemungkinan normal )(xf berada pada lokasi pemusatan

x .vi. Titik belok (point of onflections) dari kurva fungsi distribusikemungkinan normal )(xf berada pada titik-titik x .Kurva memiliki bentuk cekung dari bawah untuk

-<x<+, dan cekung dari atas untuk harga x lainnya.




Kedua parameter fungsi normal dan 2 adalah rata-rata (ekspektasi )( XE ) dan variansi ( 2)( XV )distribusi probabilitas normal.Bukti :

e

2

1)(

-

/- 221

dxxXEx

.

Gunakan transformasi /)( xz , dan diperoleh :

.)0()1(

e2

e2

1

e2

)()(

-

-

-

-

-

-

2212

21

221

dzz

dz

dzz

XE

zz

z




Selanjutnya hitung variansi sebagai berikut:

.10

2

1

2

2

2

)(

])[()(

22

2

22

)(2

2

2112

11

211

211

dzeez

dzez

dxex

XEXV

zz

z

X




B e s a r n y a n i l a i p r o b a b i l i t a s v a r i a b e l r a n d o m n o r m a ld i t e n t u k a n d e n g a n f o r m u l a s i b e r i k u t :

dxexXPxFux 2

21 )(

2

1)()(

.

N i l a i p r o b a b i l i t a s t e r s e b u t t i d a k d a p a t d i h i t u n g s e c a r aa n a l i t i s m a t e m a t i s m e l a l u i p e r s a m a a n i n t e g r a l d i a t a s , u n t u ki t u d i g u n a k a n t a b e l d i s t r i b u s i n o r m a l y a n g d i p e r o l e h m e l a l u ip e n d e k a t a n n u m e r i k .




B e b e r a p a p e n d e k a t a n n u m e r i k y a n g d a p a t d i g u n a k a n u n t u km e n e n t u k a n b e s a r n y a n i l a i p r o b a b i l i t a s a d a l a h :i . P e n d e k a t a n H o y t ( 1 9 6 8 ) m e n g g u n a k a n f u n g s i

31untuk )3(

1untuk )3(2

161

281

xx

xx

p e n d e k a t a n i n i m e m b e r i k a n k e s a l a h a n k u r a n g d a r i 0 . 0 1 .i i . P e n d e k a t a n P o l y a ( 1 9 4 5 ) m e n g g u n a k a n f u n g s i

2/1221 )}/2exp(1{1)( xxF .

P e n d e k a t a n i n i m e m b e r i k a n k e s a l a h a n m a k s i m u ms e b e s a r 0 . 0 0 3 p a d a x = 1 . 6 .




i i i . P e n d e k a t a n B u r r ( 1 9 6 7 ) m e n g g u n a k a n f u n g s i

kcxxG

)(11)( d i m a n a = 0 . 6 4 4 6 9 3 , = 0 . 1 6 1 9 8 4 , c = 4 . 8 7 4 , d a n k = -6 . 1 5 8 . P e n d e k a t a n y a n g l e b i h b a i k d e n g a n f u n g s i G ( x )a d a l a h )](1)([)( 2

1 xGxGxH . D e n g a n p e n d e k a t a n i n im e m b e r i k a n k e s a l a h a n m a k s i m u m a d a l a h 0 . 0 0 0 4 6 p a d ax = 0 . 6 d a n x = - 0 . 6 .

P e n d e k a t a n l a i n n y a d a p a t d i l i h a t p a d a :J o h n s o n , N . L . & K o t z , S . , ( 1 9 7 0 ) , C o n t i n u o u s U n i v a r i a t eD i s t r i b u t i o n , J W S .



Semua kurva di bawah ini mengikuti distribusi normal dengan nilai rata-rata dan variansi yang berbeda

50-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

z

f(z)

Normal Distribution: =0, =1

454035

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

w

f(w)


6050403020100

0.2

0.1

0.0

x

f(x)


65554535

0.2

0.1

0.0

y

f(y)


50

Perhatikan bahwa:

P(39 W 41)P(25 X 35)P(47 Y 53)P(-1 Z 1)

Nilai probabilitas dari setiap interval adalah luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal.




543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)

Stand ard Norm al D is tribution

• Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang satu deviasi standar dari rata-rata adalah 0.6826, atau sekitar 0.68.

• Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang dua deviasi standar dari rata-rata adalah 0.9544, atau sekitar 0.95.

• Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang tiga deviasi standar dari rata-rata adalah 0.9974.




Variabel random normal standar, Z, adalah variabel random normal dengan rata-rata = 0 dan deviasi standar = 1: Z~N(0,12).

543210- 1- 2- 3- 4- 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

0 . 0

Z

f(z )

Standard Normal Distribution

=0

=1{

Distribusi Normal Standar (1)



543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f( z)


1.56{

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .090.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.43191.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.44411.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45451.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.46331.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.47061.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.47672.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.48172.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.48572.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.48902.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.49162.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.49362.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.49522.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.49742.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.49812.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.49863.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

Probabilitas Normal Standar

Lihat pada baris 1.5 dan kolom .06 untuk menemukanP(0<z<1.56) = 0.4406

Distribusi Normal Standar (2) P(0 < Z < 1.56)



Untuk P(Z<-2.47):Lihat tabel untuk 2.47

P(0 < Z < 2.47) = .4934

P(Z < -2.47) = .5 - P(0 < Z < 2.47) = .5 - .4934 = 0.0066

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


Nilai tabel area 2.47P(0 < Z < 2.47) = 0.4934

Area di sebelah kiri -2.47P(Z < -2.47) = .5 - 0.4932 = 0.0068

Distribusi Normal Standar (3) P(Z < -2.47)

z ... .06 .07 .08. . . .. . . .. . . .2.3 ... 0.4909 0.4911 0.49132.4 ... 0.4931 0.4932 0.49342.5 ... 0.4948 0.4949 0.4951.



z .00 ... . . . . . .0.9 0.3159 ...1.0 0.3413 ...1.1 0.3643 ... . . . . . .1.9 0.4713 ...2.0 0.4772 ...2.1 0.4821 ... . . . . . .

Temukan P(1 < Z < 2):1. Temukan nilai tabel 2.00

F(2) = P(Z < 2.00) = .5 + .4772 =.97722. Temukan nilai tabel 1.00

F(1) = P(Z < 1.00) = .5 + .3413 = .8413

3. P(1 < Z < 2.00) = P(Z < 2.00) - P(Z < 1.00)

= .9772 - .8413 = .1359

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


Luas area diantara 1 dan 2P(1 < Z < 2) = .4772 - .8413 = 0.1359

Distribusi Normal Standar (4) P(1< Z < 2)



Temukan z sehingga P(0 < Z < z) = .40:Temukan nilai probabilitas sedekat mungkin dengan .40 dari tabel kemungkinan normal standar.•Tentukan nilai z pada baris dan kolom yang sesuai. P(0<z<1.28) 0.40

Karena P(Z < 0) = .50

P(Z <1.28) .90

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


Area = .40 (.3997)

Z = 1.28

Luas area di kiri 0 = .50P(z 0) = .50

Distribusi Normal Standar (5) P(0 < Z < z) = 0.40

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .090.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



z .04 .05 .06 .07 .08 .09. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .2.4 ... 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.49362.5 ... 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.49522.6 ... 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .

Untuk memperoleh probabilitas 0.99 di tengah distribusi, akan ada (1/2)(1-.99) = (1/2)(.01) = .005 di ekor (tail) distribusi, dan (1/2)(.99) = .495 setengah dari interval .99, atau :

P(0<Z<z.005) = .495

Dari tabel probabilitas normal standar:

2,57 < z.005 < 2,58 z.005 2,575

P(-.2575 < Z < 2,575) = .99

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Zf(z

)-z.005 z.005

Area di ekor kanan = .005Area di ekor kiri = .005

Area di kanan = .495

Area di kiri = .495

2.575-2.575

Area di tengah = .99

Distribusi Normal Standar (6) P(-z.005< Z < z.005) = 0.99



Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk variabel random normal adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna normal standar. Contoh: P(40 X P(-1 Z untukdan

Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk variabel random normal adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna normal standar. Contoh: P(40 X P(-1 Z untukdan

1009080706050403020100

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

X

f(x)


=10{

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


1.0

{

Transformasi pada

(2) Pembagian dengan x)

Transformasi X menjadi Z:Transformasi X menjadi Z:

ZX x

x

Transformasi sebaliknya Z menjadi X:

Transformasi sebaliknya Z menjadi X: X x Z x

Transformasi Variabel Random Normal

(1) Pengurangan: (X - x)



Contoh: X~N(160,302)

P X

PX

P Z

P Z

( )

.. . .

100 180100 180

100 160

30

180 160

30

2 66670 4772 0 2475 0 7247

ContohX~N(127,222)

P X

PX

P Z

P Z

( )

.. . .

150150

150 127

22

1 0450 5 0 3520 0 8520




MTB > cdf 100;SUBC> normal 160,30.Cumulative Distribution FunctionNormal with mean = 160.000 and standard deviation = 30.0000

x P( X <= x) 100.0000 0.0228


x P( X <= x) 180.0000 0.7475


x P( X <= x) 100.0000 0.0228


x P( X <= x) 180.0000 0.7475

MTB > cdf 150;SUBC> normal 127,22.

Cumulative Distribution Function

Normal with = 127.000 and = 22.0000

x P( X <= x) 150.0000 0.8521



Normal with = 127.000 and = 22.0000

x P( X <= x) 150.0000 0.8521

Transformasi Variabel Random Normal(Minitab)



Contoh X~N(383,122)

P X

PX

P Z

P Z

( )

. .

. . .

394 399394 399

394 383

12

399 383

12

0 9166 1 333

0 4088 0 3203 0 0885

440390340

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

X

f( X)




Normal with mean = 383.000 and standard deviation = 12.0000

x P( X <= x) 394.0000 0.8203




x P( X <= x) 394.0000 0.8203




x P( X <= x) 399.0000 0.9088




x P( X <= x) 399.0000 0.9088

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)


Equivalent areas

Transformasi Variabel Random Normal(Minitab)



Transformasi Variabel Random Normal(Excel)



Transformasi X menjadi Z:

ZX x

x

Transformasi kebalikan Z menjadi X:X

xZ

x

Transformasi X menjadi Z, dengan nilai a dan b:

P X a P Za

P X b P Zb

P a X b Pa

Zb

( )

( )

( )




z .07 .08 .09 . . . . . . . . . . . . . . .1.1 . . . 0.3790 0.3810 0.38301.2 . . . 0.3980 0.3997 0.40151.3 . . . 0.4147 0.4162 0.4177 . . . . . . . . . . . . . . .

Untuk menemukan nilai probabilitas dengan interval tertentu untuk sembarang variabel random normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi standar dari rata-ratanya.

Jika X~N(50,102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi standar di atas rata-rata X: 70=+2. P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal standar.

Untuk menemukan nilai probabilitas dengan interval tertentu untuk sembarang variabel random normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi standar dari rata-ratanya.

Jika X~N(50,102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi standar di atas rata-rata X: 70=+2. P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal standar.

P X Px

P Z P Z( ) ( )

70

70 70 50

102

Contoh: X~N(124,122) P(X > x) = 0.10 dan P(Z > 1.28) 0.10x = + z = 124 + (1.28)(12) = 139.36




z .02 .03 .04 . . . . . . . . . . . . . . .2.2 . . . 0.4868 0.4871 0.48752.3 . . . 0.4898 0.4901 0.49042.4 . . . 0.4922 0.4925 0.4927 . . . . . . . . . . . . . . .

z .05 .06 .07 . . . . . . . . . . . . . . .1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.46931.9 . . . 0.4744 0.4750 0.47562.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808 . . . . . . . . . .

Contoh: X~N(5.7,0.52)P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33) 0.01x = + z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865

Contoh: X~N(5.7,0.52)P(X > x)=0.01 dan P(Z > 2.33) 0.01x = + z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865

Contoh: X~N(2450,4002)P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96)0.95x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234)P(1666 < X < 3234) = 0.95

Contoh: X~N(2450,4002)P(a<X<b)=0.95 dan P(-1.96<Z<1.96)0.95x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ±784=(1666,3234)P(1666 < X < 3234) = 0.95

8.27.26.25.24.23.2

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

8.27.26.25.24.23.2

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

f(x)

Normal Distribution: = 5.7 = 0.5

543210-1-2-3-4-5

z Z.01 = 2.33

Area = 0.49

Area = 0.01

4000300020001000

0.0015

0.0010

0.0005

0.0000

X

f(x)

Normal Distribution: = 2450 = 400

4000300020001000

0.0015

0.0010

0.0005

0.0000

543210-1-2-3-4-5

Z

.4750.4750

.0250.0250

-1.96 1.96


X.01 = +z = 5.7 + (2.33)(0.5) = 6.865



4000300020001000

0.0012

0.0010

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0.0000

X

f( x)


.

.

.

.

.

.

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)

S tand ard N o rm al D is trib utio n

1. Gambarkan distribusi normal yang ingin diteliti dan distribusi normal standar.

1. Gambarkan distribusi normal yang ingin diteliti dan distribusi normal standar.


2. Arsir daerah probabilitas yang diteliti.

2. Arsir daerah probabilitas yang diteliti.3. Dari tabel distribusi normal standar, temukan nilai z.

3. Dari tabel distribusi normal standar, temukan nilai z.

4. Transformasikan nilai z menjadi x (nilai variabel random asal).

4. Transformasikan nilai z menjadi x (nilai variabel random asal).



4. Transformasi nilai z ke nilai x

4. Transformasi nilai z ke nilai x

x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ± 784 =(1666,3234)

x = z = 2450 ± (1.96)(400) = 2450 ± 784 =(1666,3234)


z .05 .06 .07 . . . . . . . . . . . . . . .1.8 . . . 0.4678 0.4686 0.46931.9 . . . 0.4744 0.4750 0.47562.0 . . . 0.4798 0.4803 0.4808 . . . . . . . . . .

3. Temukan nilai z dari tabel normal standar z=-1,96 dan z=1.96

3. Temukan nilai z dari tabel normal standar z=-1,96 dan z=1.96

1. Distribusi normal dan normal standar.

1. Distribusi normal dan normal standar.

2. Arsir daerah 0.95 (masing-masing 0.475 di kiri dan kanan.

2. Arsir daerah 0.95 (masing-masing 0.475 di kiri dan kanan.

400300200100

0.0012

0.0010

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0.0000

Xf( x

)

Nor al Distribution: = 2450, = 40

.

.

.

.

.

.

.4750.4750

.9500

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f(z)

S tand ard No rm al D is trib utio n

.4750.4750

.9500

-1.96 1.96




Using EXCEL




1050

0.3

0.2

0.1

0.0

X

f(x)

Normal Distribution: = 3.5, = 1.323

76543210

0.3

0.2

0.1

0.0

X

P(x

)

Binomial Distribution: n = 7, p = 0.50

Distribusi normal dengan = 3.5 dan = 1.323 mendekati distribusi binomial dengan n = 7 dan p = 0.50.

Distribusi normal dengan = 3.5 dan = 1.323 mendekati distribusi binomial dengan n = 7 dan p = 0.50.

P(x<4.5) = 0.7749

MTB > cdf 4.5;SUBC> normal 3.5 1.323.Cumulative Distribution FunctionNormal with mean = 3.50000 and standard deviation = 1.32300

x P( X <= x) 4.5000 0.7751


x P( X <= x) 4.5000 0.7751

MTB > cdf 4;SUBC> binomial 7,.5.Cumulative Distribution FunctionBinomial with n = 7 and p = 0.500000

x P( X <= x) 4.00 0.7734


x P( X <= x) 4.00 0.7734

P( x 4) = 0.7734

Pendekatan untuk Binomial (1)

=0.0017



1050

0.3

0.2

0.1

0.0

X

f(x)

Normal Distribution: = 5.5, = 1.6583

11109876543210

0.2

0.1

0.0

X

P(x

)

Binomial Distribution: n = 11, p = 0.50

Distribusi normal dengan = 5.5 dan = 1.6583 pendekatan yang lebih baik untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0.50.

Distribusi normal dengan = 5.5 dan = 1.6583 pendekatan yang lebih baik untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0.50.

P(x<4.5) = 0.2732P(x4) = 0.2744


x P( X <= x) 4.5000 0.2732


x P( X <= x) 4.5000 0.2732


x P( X <= x) 4.00 0.2744


x P( X <= x) 4.00 0.2744


=0.0012




D e fi n i s i :B i la X v a r ia b e l r a n d o m b in o m ia l d e n g a n r a t a - r a t a = n pd a n v a r ia n s i 2 = n p q , m a k a b e n t u k p e n d e k a t a n a d a la h

d is t r ib u s i ,npq

npXZ

b i la n a d a la h d is t r ib u s i n o r m a l

b a k u N ( 0 , 1 ) .

D a r i p e r h i t u n g a n , d is t r ib u s i n o r m a l m e m b e r ik a n p e n d e k a t a nn i la i p r o b a b i l i t a s y a n g b a ik t e r h a d a p d is t r ib u s i b in o m ia l b i l an b e s a r d a n p m e n d e k a t i 0 . 5 , b a h k a n b i la n m e n g e c i l t a p i pt id a k t e r la lu j a u h d a r i 0 . 5 m a s ih d ip e r o le h p e n d e k a t a n y a n gc u k u p b a ik .



P a X b Pa np

np pZ

b npnp p

( ) ( ) ( )

1 1

for large (n 50) and not too close to 0 or 1.00n p

P a X b Pa np

np pZ

b npnp p

( ) ( ) ( )

1 1

for large (n 50) and not too close to 0 or 1.00n p

P a X b Pa np

np pZ

b npnp p

( ) .( )

.( )

0 51

0 51

for moderately large (20 n < 50).n

P a X b Pa np

np pZ

b npnp p

( ) .( )

.( )

0 51

0 51

for moderately large (20 n < 50).n

Atau:

Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan pendekatan dengan distribusi Poisson.Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan pendekatan dengan distribusi Poisson.


Untuk n besar (n>50) dan p tidak mendekati 0 atau 1.00

Untuk n sedang (20<n<50)




S u a t u p r o s e s m e n g h a s i l k a n s e j u m l a h p r o d u k ( d e n g a n k e m u n g k i n a nd p r o d u k c a c a t 1 0 % ) . B i l a 1 0 0 p r o d u k d i a m b i l s e c a r a a c a k , b e r a p a k a hk e m u n g k i n a n b a h w a t e r d a p a t l e b i h d a r i 1 3 p r o d u k c a c a t ?

D a l a m k a s u s i n i , b a n y a k n y a c a c a t b e r d i s t r i b u s i b i n o m i a l d e n g a np a r a m e t e r n = 1 0 0 d a n p = 0 , 1 . K a r e n a u k u r a n s a m p e l b e s a r d i l a k u k a np e n d e k a t a n d e n g a n f u n g s i k e m u n g k i n a n n o r m a l d i m a n a p a r a m e t e r n y aa d a l a h 10)1,0)(100( np , d a n 0,3)9,0)(1,0)(100( npq .

K a r e n a i n g i n d i a m a t i k e m u n g k i n a n b a h w a t e r d a p a t l e b i h d a r i 1 3 p r o d u kc a c a t , m a k a d i c a r i p r o b a b i l i t a s x > 1 3 . U n t u k k a s u s d i s k r i t , d i g u n a k a nb a t a s x = 1 3 . 5 , d a n h a r g a z y a n g s e s u a i a d a l a h 167,13/)105.13( z .D a r i t a b e l d i p e r o l e h k e m u n g k i n a n z > 1 . 1 6 7 a d a l a h 0 . 1 2 1 6 .

S u a t u p r o s e s m e n g h a s i l k a n s e j u m l a h p r o d u k ( d e n g a n k e m u n g k i n a nd p r o d u k c a c a t 1 0 % ) . B i l a 1 0 0 p r o d u k d i a m b i l s e c a r a a c a k , b e r a p a k a hk e m u n g k i n a n b a h w a t e r d a p a t l e b i h d a r i 1 3 p r o d u k c a c a t ?

D a l a m k a s u s i n i , b a n y a k n y a c a c a t b e r d i s t r i b u s i b i n o m i a l d e n g a np a r a m e t e r n = 1 0 0 d a n p = 0 , 1 . K a r e n a u k u r a n s a m p e l b e s a r d i l a k u k a np e n d e k a t a n d e n g a n f u n g s i k e m u n g k i n a n n o r m a l d i m a n a p a r a m e t e r n y aa d a l a h 10)1,0)(100( np , d a n 0,3)9,0)(1,0)(100( npq .

K a r e n a i n g i n d i a m a t i k e m u n g k i n a n b a h w a t e r d a p a t l e b i h d a r i 1 3 p r o d u kc a c a t , m a k a d i c a r i p r o b a b i l i t a s x > 1 3 . U n t u k k a s u s d i s k r i t , d i g u n a k a nb a t a s x = 1 3 . 5 , d a n h a r g a z y a n g s e s u a i a d a l a h 167,13/)105.13( z .D a r i t a b e l d i p e r o l e h k e m u n g k i n a n z > 1 . 1 6 7 a d a l a h 0 . 1 2 1 6 .



• Dalam EXCEL, perintah NORMSDIST(number) akan memberikan nilai probabilitas kumulatif dari variabel random normal standar.

• Perintah NORMDIST(number, mean, standard deviation) akan memberikan nilai probabilitas dari variabel random normal secara umum.

Perhitungan dengan Excel (1)



Contoh:

• NORMSDIST(1.0) = 0.8413.

• NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938.

• Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number, mean, standard deviation).

• NORMSINV(0.975) = 1.96.

• NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6.

Contoh:

• NORMSDIST(1.0) = 0.8413.

• NORMDIST(10.0, 5, 2) = 0.9938.

• Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number, mean, standard deviation).

• NORMSINV(0.975) = 1.96.

• NORMINV(0.975, 20, 10) = 39.6.

Perhitungan dengan Excel (2)



Distribusi Normal Multivariat (1)

Distribusi dalam analisis multivariat umumnya adalahdistribusi multivariat normal sebagai perluasan daridistribusi normal univariat.Terdapat dua landasan pokok untuk hal tersebut, yaitu :i. Kasus pengukuran multivariat seringkali adalah bentuk

penjumlahan dari beberapa pengaruh random yangindependen. Dengan teorema central limit, beberapavariabel tadi membentuk distribusi normal multivariat.

ii. Teori statistika yang berlandaskan pada distribusi normalterbukti telah menunjukkan keberhasilan dalammelakukan kajian secara terstruktur dan sistematis.

Distribusi dalam analisis multivariat umumnya adalahdistribusi multivariat normal sebagai perluasan daridistribusi normal univariat.Terdapat dua landasan pokok untuk hal tersebut, yaitu :i. Kasus pengukuran multivariat seringkali adalah bentuk

penjumlahan dari beberapa pengaruh random yangindependen. Dengan teorema central limit, beberapavariabel tadi membentuk distribusi normal multivariat.

ii. Teori statistika yang berlandaskan pada distribusi normalterbukti telah menunjukkan keberhasilan dalammelakukan kajian secara terstruktur dan sistematis.




N i l a i e k s p e k t a s i d a r i s e b u a h v e k t o r v a r i a b e l r a n d o mX = ( X 1 , … , X m ) ’ a d a l a h ')(),...,()( 1 mXEXEXE .

J i k a X m e m p u n y a i r a t a - r a t a m a t r i k s v a r i a n s i -k o v a r i a n s i X d i d e fi n i s i k a n s e b a g a i m a t r i k s ( m x m ) b e r i k u t

)')(()( XXEXCov .

E l e m e n k e - i d a n k e - j d a r i m a t r i k s v a r i a n s i - k o v a r i a n s ia d a l a h )])([( jjiiij XXE , s e d a n g k a n e l e m e n k e - i

d i k e n a l s e b a g a i v a r i a n s i ])[( 2iiii XE .




Agar variansi variabel random Xi ada, maka matriks definit nonnegatif. Karena similaritas kovariansi, makamatriks adalah matriks simetris, sehingga ' . Sebuah matriks simetris (mxm) A disebut definit non-negatif jika 0' A untuk semua mR dan pasti positif

jika 0' A untuk semua 0, mR . mR adalah ruangEuklidean berdimensi m dengan komponen real.

)()'(

2

1exp)(det)2()( 12/12/ xxxf m

x

)()'(

2

1exp)(det)2()( 12/12/ xxxf m

x



Distribusi Probabilitas Gamma (1)

D i s t r i b u s i g a m m a d i k e n a l d a r i f u n g s i g a m m a y a n g b a n y a k d i g u n a k a nd a l a m b i d a n g m a t e m a t i k a . F u n g s i g a m m a d i d e fi n i s i k a n o l e h

0

1)( dxex x u n t u k 0 .

J i l a d i l a k u k a n i n t e g r a s i p a r s i a l a t a s 1 xu d a n d v = e - x d x , m a k a a k a n

d i p e r o l e h

0

21 )1(0

)( dxxexe xx =

0

2)1( dxxe x ,

s e h i n g g a d i h a s i l k a n p e n g u l a n g a n f u n g s i g a m m a )1()1()( ,)2()2)(1()( , d a n s e t e r u s n y a j i k a = n , d i m a n a n b i l a n g a n

b u l a t p o s i t i f , m a k a )1()...2)(1()( nnn . K a r e n a m e n u r u t d e fi n i s i

f u n g s i g a m m a

0

1)1( dxe x , m a k a )!1()( nn .

S a t u s i f a t p e n t i n g f u n g s i g a m m a , a d a l a h )2/1( .

D i s t r i b u s i g a m m a d i k e n a l d a r i f u n g s i g a m m a y a n g b a n y a k d i g u n a k a nd a l a m b i d a n g m a t e m a t i k a . F u n g s i g a m m a d i d e fi n i s i k a n o l e h

0

1)( dxex x u n t u k 0 .

J i l a d i l a k u k a n i n t e g r a s i p a r s i a l a t a s 1 xu d a n d v = e - x d x , m a k a a k a n

d i p e r o l e h

0

21 )1(0

)( dxxexe xx =

0

2)1( dxxe x ,

s e h i n g g a d i h a s i l k a n p e n g u l a n g a n f u n g s i g a m m a )1()1()( ,)2()2)(1()( , d a n s e t e r u s n y a j i k a = n , d i m a n a n b i l a n g a n

b u l a t p o s i t i f , m a k a )1()...2)(1()( nnn . K a r e n a m e n u r u t d e fi n i s i

f u n g s i g a m m a

0

1)1( dxe x , m a k a )!1()( nn .

S a t u s i f a t p e n t i n g f u n g s i g a m m a , a d a l a h )2/1( .




D e fi n i s iS e b u a h v a r i a b e l r a n d o m k o n t i n y u X b e r d i s t r i b u s i g a m m ad e n g a n p a r a m e t e r b i l a 0 d a n 0 , b i l a m e n g i k u t if u n g s i

/1

)(

1)( xexxf

x > 0

= 0 , u n t u k x l a i n n y a .

P a r a m e t e r p e m u s a t a n d a n p e n y e b a r a n a d a l a h s e b a g a ib e r i k u t :

)( XE d a n 22)( XV .

D e fi n i s iS e b u a h v a r i a b e l r a n d o m k o n t i n y u X b e r d i s t r i b u s i g a m m ad e n g a n p a r a m e t e r b i l a 0 d a n 0 , b i l a m e n g i k u t if u n g s i

/1

)(

1)( xexxf

x > 0

= 0 , u n t u k x l a i n n y a .

P a r a m e t e r p e m u s a t a n d a n p e n y e b a r a n a d a l a h s e b a g a ib e r i k u t :

)( XE d a n 22)( XV .




Hal ini dapat dibuktikan dengan mengevaluasi momen ke-r disekitar titik asal distribusi gamma adalah

0

/1'

)(

1)( dxexXE rr

r

.

Jika dimisalkan y=x/, maka

0

/1'

)(dyeyr

r

r

)(

)(

rr

.

Dengan demikian

)(

)1('1 , dan

222

2'2

2

)(

)2(

= 2Distribusi gamma yang khusus (spesifik) untuk =v/2, =2,dan v bilangan bulat positif disebut distribusi khi-kuadrat (chi-square) dengan degree of freedom v.

Hal ini dapat dibuktikan dengan mengevaluasi momen ke-r disekitar titik asal distribusi gamma adalah

0

/1'

)(

1)( dxexXE rr

r

.

Jika dimisalkan y=x/, maka

0

/1'

)(dyeyr

r

r

)(

)(

rr

.

Dengan demikian

)(

)1('1 , dan

222

2'2

2

)(

)2(

= 2Distribusi gamma yang khusus (spesifik) untuk =v/2, =2,dan v bilangan bulat positif disebut distribusi khi-kuadrat (chi-square) dengan degree of freedom v.




Proposisi:J ika niX i ,...,2,1, adalah variabel random gamma independen

dengan parameter ),( i , maka

n

i iX1 juga gamma dengan

parameter ,1

n

i i .(parameter /1adalah )Proposisi:J ika niX i ,...,2,1, adalah variabel random independen

eksponensial independen dan identik dengan rata-rata ,

maka

n

i iX1 adalah variabel random gamma dengan

parameter ),( n .

Proposisi:J ika niX i ,...,2,1, adalah variabel random gamma independen

dengan parameter ),( i , maka

n

i iX1 juga gamma dengan

parameter ,1

n

i i .(parameter /1adalah )Proposisi:J ika niX i ,...,2,1, adalah variabel random independen

eksponensial independen dan identik dengan rata-rata ,

maka

n

i iX1 adalah variabel random gamma dengan

parameter ),( n .



Distribusi Probabilitas Weibull (1)

D i s t r i b u s i W e i b u l l ( W a l o d d i W e i b u l l , S w e d i s h , 1 9 3 9 ) b a n y a k d i g u n a k a nd a l a m a n a l i s i s k e a n d a l a n y a n g b e r k i a t a n d e n g a n u m u r ( r e n t a n gw a k t u ) , c o n t o h n y a r a n t a n g w a k t u d i m a n a s e b u a h p e r a l a t a n m u n g k i na k a n r u s a k ( t i d a k b e r f u n g s i ) .D e fi n i s iV a r i a b e l r a n d o m k o n t i n y u T b e r d i s t r i b u s i W e i b u l l , d e n g a n d u ap a r a m e t e r 0 d a n 0 , j i k a f u n g s i p a d a t n y a m e n g i k u t i

atettf 1)( u n t u k t > 0 , d a n f ( t ) = 0 , u n t u k t l a i n n y a

P a r a m e t e r p e m u s a t a n d a n p e n y e b a r a n a d a l a h s e b a g a i b e r i k u t :

1

1)( /1TE d a n

2

/22 11

21)(

TV

D i s t r i b u s i W e i b u l l ( W a l o d d i W e i b u l l , S w e d i s h , 1 9 3 9 ) b a n y a k d i g u n a k a nd a l a m a n a l i s i s k e a n d a l a n y a n g b e r k i a t a n d e n g a n u m u r ( r e n t a n gw a k t u ) , c o n t o h n y a r a n t a n g w a k t u d i m a n a s e b u a h p e r a l a t a n m u n g k i na k a n r u s a k ( t i d a k b e r f u n g s i ) .D e fi n i s iV a r i a b e l r a n d o m k o n t i n y u T b e r d i s t r i b u s i W e i b u l l , d e n g a n d u ap a r a m e t e r 0 d a n 0 , j i k a f u n g s i p a d a t n y a m e n g i k u t i

atettf 1)( u n t u k t > 0 , d a n f ( t ) = 0 , u n t u k t l a i n n y a

P a r a m e t e r p e m u s a t a n d a n p e n y e b a r a n a d a l a h s e b a g a i b e r i k u t :

1

1)( /1TE d a n

2

/22 11

21)(

TV




D e n g a n m e n g g u n a k a n a n a l o g i , f u n g s i d i s t r i b u s i k e m u n g k i n a nW e i b u l l d a p a t m e n c a k u p t i g a p a r a m e t e r W ( , , ) d a n f u n g s ik e a n d a l a n n y a d i d e fi n i s i k a n o l e h

, t,exp),,;(1

tttf d a n

t

tR exp),,;( .

M e a n t i m e t o f a i l u r e ( M T T F ) d a n v a r i a n s i n y a a d a l a h

1

),,;( TE d a n

12

),,;( 22TVar .

D e n g a n m e n g g u n a k a n a n a l o g i , f u n g s i d i s t r i b u s i k e m u n g k i n a nW e i b u l l d a p a t m e n c a k u p t i g a p a r a m e t e r W ( , , ) d a n f u n g s ik e a n d a l a n n y a d i d e fi n i s i k a n o l e h

, t,exp),,;(1

tttf d a n

t

tR exp),,;( .

M e a n t i m e t o f a i l u r e ( M T T F ) d a n v a r i a n s i n y a a d a l a h

1

),,;( TE d a n

12

),,;( 22TVar .




Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan, meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta wear-out failures.

Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan, meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta wear-out failures.

kerusakan karena terjadi wear-out causes dan chance causes

lajukerusakan

Kerusakan karena terjadinya earlycauses dan chance causes

hanya terjadichance failure

t

STATISTIKA DASAR

Documents

Transcript of STATISTIKA DASAR