MATEMATIK ASAS:MATEMATIK ASAS: TRM3023TRM3023

1. SET1. SET

2. LOGARITMA & SURD2. LOGARITMA & SURD

3. GEOMETRI KOORDINAT3. GEOMETRI KOORDINAT

SET (1)SET (1)

• Unsur, tata tanda unsur, set, gambar Unsur, tata tanda unsur, set, gambar rajah Venn; rajah Venn;

• Set kosong, set semesta, subset Set kosong, set semesta, subset berserta tata tanda, kesamaan set, berserta tata tanda, kesamaan set, bilangan unsur dalam set; bilangan unsur dalam set;

• Operasi set: persilangan set, Operasi set: persilangan set, kesatuan set, beza dua set, set kesatuan set, beza dua set, set pelengkap; pelengkap;

SET (2)SET (2)

• Hukum-hukum aljabar set; Hukum-hukum aljabar set;

• Set terhingga dan set terbilangkan; Set terhingga dan set terbilangkan;

• Hasil darab set (Hasil darab Hasil darab set (Hasil darab Cartesan)Cartesan)

Set (1)Set (1)

• Merupakan koleksi sebarang objek.Merupakan koleksi sebarang objek.

• Apa-apa objek dalam suatu set Apa-apa objek dalam suatu set dinamakan dinamakan unsur unsur atauatau ahli ahli suatu set.suatu set.

• Contoh: set warna-warna primer ialah Contoh: set warna-warna primer ialah merah, hijau dan birumerah, hijau dan biru

Set (2)Set (2)

• Untuk menerangkan suatu set, sama ada Untuk menerangkan suatu set, sama ada dalam bentuk dalam bentuk simbolsimbol atau atau perkataanperkataan, , sepasang kurungan (braces), sepasang kurungan (braces), digunakan.digunakan.

• Contoh: Jika S ialah suatu set nombor-Contoh: Jika S ialah suatu set nombor-nombor jati kurang daripada 5, maka set nombor jati kurang daripada 5, maka set S boleh ditulis sebagai atau pun S boleh ditulis sebagai atau pun set S ditulis dalam bentuk set S ditulis dalam bentuk , ,

Set (3)Set (3)

• xx disebut sebagai disebut sebagai pembolehubahpembolehubah..

• Pembolehubah merupakan simbol Pembolehubah merupakan simbol yang digunakan untuk mewakili yang digunakan untuk mewakili sebarang sebarang unsur suatu setunsur suatu set. .

Set (4)Set (4)

• Set S juga boleh ditulis “set-builder Set S juga boleh ditulis “set-builder notation”, |, iaitu garis menegak notation”, |, iaitu garis menegak digunakan menggantikan perkataan digunakan menggantikan perkataan “dimana (such that)”“dimana (such that)”

di baca sebagai di baca sebagai

• ““set bagi semua set bagi semua xx dimana dimana x x ialah ialah nombor jati kurang daripada 5” nombor jati kurang daripada 5”

Set (5)Set (5)

• Nombor-nombor jati ditulis, Nombor-nombor jati ditulis, atau dengan menggunakan set-atau dengan menggunakan set-builder notation, builder notation,

Tata tanda unsur (1)Tata tanda unsur (1)

• Simbol menandakan sesuatu unsur Simbol menandakan sesuatu unsur termasuk termasuk //dipunyaidipunyai dalam dalam //oleholeh suatu suatu set.set.

• Contoh: Contoh: “ “5 merupakan suatu unsur dalam 5 merupakan suatu unsur dalam

set N”set N” a dan b merupakan unsur-unsur a dan b merupakan unsur-unsur

dalam set M.dalam set M.

Tata tanda unsur (2)Tata tanda unsur (2)

• simbol menandakan bukan unsur simbol menandakan bukan unsur sesuatu set.sesuatu set.

• Contoh: ½ bukan unsur suatu set NContoh: ½ bukan unsur suatu set N

• Katakan P merupakan set bagi semua Katakan P merupakan set bagi semua integer. Disebabkan setiap nombor jati integer. Disebabkan setiap nombor jati adalah integer,maka, setiap unsur dalam adalah integer,maka, setiap unsur dalam suatu set N merupakan unsur dalam suatu set N merupakan unsur dalam suatu set P, ringkasnya N subset P, atausuatu set P, ringkasnya N subset P, atau

Tata tanda unsur (3)Tata tanda unsur (3)• Suatu set R adalah subset kepada set S,Suatu set R adalah subset kepada set S,

jika dan hanya jikajika dan hanya jika, setiap unsur dalam , setiap unsur dalam set R adalah juga unsur dalam set S.set R adalah juga unsur dalam set S.

• Sekiranya satu unsur dalam set S bukan Sekiranya satu unsur dalam set S bukan unsur dalam set R, maka R ialah subset unsur dalam set R, maka R ialah subset properproper kepada set S, kepada set S,

• Disini, setiap set ialah subset kepada Disini, setiap set ialah subset kepada subsetnya sendiri, tetapi suatu set subsetnya sendiri, tetapi suatu set bukanbukan subset proper kepada subset subset proper kepada subset properproper nya sendiri. nya sendiri.

Tata tanda unsur (4)Tata tanda unsur (4)• Ungkapan, Ungkapan, jika dan hanya jikajika dan hanya jika, untuk , untuk Set R adalah subset kepada set S, Set R adalah subset kepada set S, jikajika setiap setiap

unsur dalam set R adalah juga unsur dalam unsur dalam set R adalah juga unsur dalam set Sset S

Set R adalah subset kepada set S, Set R adalah subset kepada set S, hanya jikahanya jika, , setiap unsur dalam set R adalah juga unsur setiap unsur dalam set R adalah juga unsur dalam set S.dalam set S.

• Kedua-duanya boleh diungkapkan, jika set R Kedua-duanya boleh diungkapkan, jika set R adalah subset kepada set S, maka setiap adalah subset kepada set S, maka setiap unsur dalam set R adalah juga unsur dalam unsur dalam set R adalah juga unsur dalam set S.set S.

Contoh (1)Contoh (1)• Katakan N merupakan set nombor-Katakan N merupakan set nombor-

nombor jati, dan nombor jati, dan

• Disebabkan setiap unsur dalam set M Disebabkan setiap unsur dalam set M merupakan unsur dalam set N, maka merupakan unsur dalam set N, maka set M adalah subset kepada set N,set M adalah subset kepada set N,

• Selain itu, sekurang-kurangnya satu Selain itu, sekurang-kurangnya satu unsur dalam set N bukan unsur dalam unsur dalam set N bukan unsur dalam set M. Maka M ialah subset set M. Maka M ialah subset properproper kepada set N, kepada set N,

Contoh (2)Contoh (2)

• Seterusnya, disebabkan Seterusnya, disebabkan merupakan set yang mengandungi merupakan set yang mengandungi nombor 6, iaitu set yang nombor 6, iaitu set yang mengandungi unsur tunggal 6 ialah mengandungi unsur tunggal 6 ialah subset subset properproper kepada set M atau kepada set M atau

iaitu nombor 6 adalah unsur iaitu nombor 6 adalah unsur suatu set M.suatu set M.

Gambar rajah VennGambar rajah Venn

• Set digambarkan samada Set digambarkan samada menggunakan segiempat, bulatan menggunakan segiempat, bulatan atau apa sahaja. Gambarajah-atau apa sahaja. Gambarajah-gambarajah yang mewakili set gambarajah yang mewakili set dinamakan dinamakan Gambar rajah Venn.Gambar rajah Venn.

Set kosong atau set null (1)Set kosong atau set null (1)

• Simbolnya atau iaitu tiada Simbolnya atau iaitu tiada unsur dalam suatu set. unsur dalam suatu set.

• Contoh: , maka set Contoh: , maka set null, null,

= nombor antara 2 dan 3.= nombor antara 2 dan 3.

Set kosong atau set null (2)Set kosong atau set null (2)

• Konsep “subset” juga ditakrifkan Konsep “subset” juga ditakrifkan sebagai dua set adalah “sama” sebagai dua set adalah “sama”

• Contoh: jika , , maka A = Contoh: jika , , maka A = BB

Set semestaSet semesta

• Simbolnya Simbolnya ⋃, m⋃, mengandungi semua engandungi semua unsur didalamnya.unsur didalamnya.

• Contoh: Contoh:

Set pelengkapSet pelengkap

• Pelengkap set D, ialah unsur Pelengkap set D, ialah unsur dalam set semesta tiada dalam set dalam set semesta tiada dalam set D. D.

ContohContoh

• PerhatikanPerhatikan

Set in tiada unsur di dalamnya Set in tiada unsur di dalamnya disebabkan tiada penyelesaian disebabkan tiada penyelesaian integer bagi persamaaninteger bagi persamaan

2x + 1 =0. 2x + 1 =0.

Kesatuan set (1)Kesatuan set (1)

• Dua set , set A dan set B di katakan Dua set , set A dan set B di katakan sama, A = Bsama, A = B jika dan hanya jika jika dan hanya jika dan dan

• Dengan kata lain, set A dan set B adalah Dengan kata lain, set A dan set B adalah sama sama jika dan hanya jika, jika dan hanya jika, setiap unsur setiap unsur dalam set A adalah unsur dalam set B dalam set A adalah unsur dalam set B dan setiap unsur dalam set B adalah dan setiap unsur dalam set B adalah unsur dalam set A, atau ringkasnya set A unsur dalam set A, atau ringkasnya set A dan set B mempunyai unsur-unsur yang dan set B mempunyai unsur-unsur yang sama.sama.

Kesatuan set (2)Kesatuan set (2)

• Kesatuan set A dan set B, ialah Kesatuan set A dan set B, ialah set bagi semua unsur yang set bagi semua unsur yang terkandung dalam A atau dalam B, terkandung dalam A atau dalam B, atau kedua-dua A dan B. atau kedua-dua A dan B.

Contoh Contoh

• Katakan . Katakan . CarikanCarikan

a. a.

b. b.

c.c.

d. d.

Persilangan setPersilangan set

• Persilangan set, Persilangan set, set A dan set B, set A dan set B, ialah set bagi semua unsur yang ialah set bagi semua unsur yang terkandung dalam kedua-dua set A terkandung dalam kedua-dua set A dan B.dan B.

Contoh Contoh

• Katakan Katakan Cari,Cari,

a.a.

b.b.

c.c.

d. d.

Contoh Contoh

• a. lukiskan tiga GV, dan labelkan set a. lukiskan tiga GV, dan labelkan set A, set B, dan set C.A, set B, dan set C.

b. lorekkan kawasan yang mewakilib. lorekkan kawasan yang mewakili

c. Lukiskan tiga GV, dan lorekkan c. Lukiskan tiga GV, dan lorekkan kawasan yang mewakili kawasan yang mewakili

Latihan Latihan • Katakan , ,Katakan , ,

Berapakah bilangan pelajar yangBerapakah bilangan pelajar yang

a. mengambil matematik tetapi tidak a. mengambil matematik tetapi tidak sains?sains?

b. mengambil matematik dan sains?b. mengambil matematik dan sains?

c. tidak ambil matematik dan juga c. tidak ambil matematik dan juga tidak mengambil sains?tidak mengambil sains?

LOGARITMALOGARITMA

• Ulangkaji Eksponen, Logaritma, Ulangkaji Eksponen, Logaritma, hukum logaritma, logaritma biasa hukum logaritma, logaritma biasa dan asli, perubahan asas logaritma, dan asli, perubahan asas logaritma, persamaan logaritma, persamaan persamaan logaritma, persamaan logaritma.. logaritma..

Tatatanda EksponenTatatanda Eksponen

• Tatatanda eksponen atau indeks Tatatanda eksponen atau indeks ditunjukkanditunjukkan

• , 16 ialah kuasa (the fourth power , 16 ialah kuasa (the fourth power of 2) of 2)

logaritma biasa dan aslilogaritma biasa dan asli

• LogaritmaLogaritma 10 sebagai asas, boleh 10 sebagai asas, boleh didapati daripada sifir, dinamakandidapati daripada sifir, dinamakan logaritma biasa. logaritma biasa.

Hukum Indeks & Hukum Indeks & Hukum LogarithmaHukum Logarithma

a.a.

bb

c.c.

d.d.

e.e.

f.f.

g.g.

h. h.

a. a.

b.b.

c.c.

d.d.

e.e.

f.f.

g.g.

Operasi dengan Eksponen Operasi dengan Eksponen atau Indeks atau Indeks

Fungsi logaritma asliFungsi logaritma asli

• Simbolnya ln, atau , logaritma Simbolnya ln, atau , logaritma bagi asas bagi asas ee. .

Fungsi EksponenFungsi Eksponen

• ialah fungsi eksponen,ialah fungsi eksponen, berkait berkait dengan fungsi logaritma asli, dengan fungsi logaritma asli, salingansalingan. .

Contoh Contoh

a. calculator 3.4 inv lna. calculator 3.4 inv ln

b. calculator 7 ln inv lnb. calculator 7 ln inv ln

c.c.

= 4.3= 4.3

(b) dan (c) menunjukkan (b) dan (c) menunjukkan fungsi logaritma fungsi logaritma asli dan fungsi eksponen “terbatal”. asli dan fungsi eksponen “terbatal”. Kedua-duanya adalah Kedua-duanya adalah salingansalingan sesama sesama mereka.mereka.

Contoh Contoh

i. i.

ii.ii.

TakrifanTakrifan logaritma logaritma

• Diberikan indeks, , Diberikan indeks, ,

3 merupakan indeks bagi asas 2 atau3 merupakan indeks bagi asas 2 atau

3 merupakan logaritma 8 bagi asas 3 merupakan logaritma 8 bagi asas 2, 2,

ditulis ditulis

• Dengan kata lain, 3 sebagai indeks Dengan kata lain, 3 sebagai indeks menjadi logaritma ,dan 2 sebagai asas, menjadi logaritma ,dan 2 sebagai asas, ringkasnya jika maka ringkasnya jika maka

NotaNota

• Almaklum, maka Almaklum, maka

• Begitu juga almaklum, maka Begitu juga almaklum, maka

• Logaritma suatu nombor positif Logaritma suatu nombor positif dengan asas sama ialah 1 dengan asas sama ialah 1

Hukum logaritma -1 Hukum logaritma -1

• Oleh kerana indeks merupakan istilah Oleh kerana indeks merupakan istilah bagi bagi logaritma, maka hukum logaritma, maka hukum logaritma boleh diterbitkan daripada logaritma boleh diterbitkan daripada hukum indeks: hukum indeks:

, menjadi , menjadi

oleh kerana dan oleh kerana dan

maka maka

Hukum logaritma -2 Hukum logaritma -2

Indeks: menjadi Indeks: menjadi oleh kerana dan oleh kerana dan

maka maka

menjadi menjadi

SURDSURD

• Takrif, operasi dengan surd (petua Takrif, operasi dengan surd (petua surd), menisbahkan surd: surd), menisbahkan surd: menisbahkan pembilang dan menisbahkan pembilang dan penyebut; persamaan surdpenyebut; persamaan surd

Surd (1) Surd (1)

• Takrifan:Takrifan: nombor-nombor yang nombor-nombor yang bolehboleh ditulis ditulis

sebagai sebagai nisbahnisbah dua integer dua integer dinamakan dinamakan nombor rationalnombor rational. Contoh:. Contoh:

nombor-nombor yang nombor-nombor yang tidak boleh tidak boleh ditulis sebagai ditulis sebagai nisbahnisbah dua integer dua integer dinamakan dinamakan nombor irrationalnombor irrational. . Contoh: Contoh:

Nombor integerNombor integer

• Nombor integer (nyata), sama ada Nombor integer (nyata), sama ada nombornya +ve, -ve atau sifar.nombornya +ve, -ve atau sifar.

• Sebarang nombor ini, dikelaskan Sebarang nombor ini, dikelaskan sebagai sebagai nombor rationalnombor rational dan dan nombor irrational.nombor irrational.

Nombor rational (1)Nombor rational (1)

• ialahialah s sebarang nombor yang ebarang nombor yang diungkapkan sebagai diungkapkan sebagai nisbahnisbah dua dua integer, atauinteger, atau

• nombor dalam bentuk , dimana p nombor dalam bentuk , dimana p dan q adalah integer (dan q adalah integer (+ve, -ve dan +ve, -ve dan sifar) dan sifar) dan

Nombor rational (2)Nombor rational (2)• Terdiri daripada:Terdiri daripada: integer (integer (+ve, -ve dan sifar);+ve, -ve dan sifar);

. . . , - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .. . . , - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . pecahan +ve, dan -ve ; pecahan +ve, dan -ve ; +ve, dan –ve +ve, dan –ve terminating decimalsterminating decimals; ;

+ve, dan –ve +ve, dan –ve non-terminating non-terminating repeating decimals;repeating decimals;

Nombor irrationalNombor irrational

• BukanBukan nombor rational nombor rational dan dan merupakanmerupakan +ve, dan –ve +ve, dan –ve non-non-terminating , nonrepeating decimalsterminating , nonrepeating decimals; ;

Kuasa bagi nombor rational Kuasa bagi nombor rational (1)(1)

• , punca kuasa dua bagi , punca kuasa dua bagi

, punca kuasa tiga bagi , punca kuasa tiga bagi

tanda radikaltanda radikal

umumnya, punca kuasa yumumnya, punca kuasa ythth bagi bagi ditulis,ditulis,

Kuasa bagi nombor rational Kuasa bagi nombor rational (2)(2)• Pembuktian: bagi y = 3 boleh dipakai Pembuktian: bagi y = 3 boleh dipakai

bagi sebarang nilai ybagi sebarang nilai y

Umumnya,Umumnya,

Contoh (1) Contoh (1)

• Kirakan:Kirakan:

a. = 3a. = 3

b. = b. =

Contoh (2) Contoh (2)

• KatakanKatakan

= -243 = -243

Contoh (3)Contoh (3)

• Tuliskan dalam bentuk indeksTuliskan dalam bentuk indeks

a. b. a. b.

nombor 2 disebut indeksnombor 2 disebut indeks

c.c.

Surd (2) Surd (2)

• Takrifan:Takrifan: Jika punca (root) nombor rational Jika punca (root) nombor rational

bukannya nombor rational, maka punca bukannya nombor rational, maka punca tersebut dinamakan tersebut dinamakan surdsurd. Contoh:. Contoh:

merupakan surdmerupakan surd

bukan surd disebabkan bukan surd disebabkan ia boleh ditulis sebagai 2, 3 dan 6 ia boleh ditulis sebagai 2, 3 dan 6

Surd (3) Surd (3)

• Nota: Walaupun persamaan Nota: Walaupun persamaan mempunyai penyelesaian ,mempunyai penyelesaian ,

bermakna positif punca kuasa bermakna positif punca kuasa dua 9, oleh itu , dan bukannya -dua 9, oleh itu , dan bukannya -3.3.

LatihanLatihan

1. a. Cari b. Cari 1. a. Cari b. Cari

c. Adakah ?c. Adakah ?

2. Gunakan untuk 2. Gunakan untuk meringkaskanmeringkaskan

a. b.a. b.

c. d.c. d.

e. f.e. f.

Penyelesaian masalah Penyelesaian masalah persamaan yang melibatkan persamaan yang melibatkan

indeksindeks• Daripada persamaan , Daripada persamaan ,

didapati dengan ‘menaikkan’ kuasa didapati dengan ‘menaikkan’ kuasa salingan salingan

Contoh (1)Contoh (1)

• SelesaikanSelesaikan

Penyelesaian: Penyelesaian:

= 151.3 = 151.3

• [naikkan kedua-dua belah kuasa salingan [naikkan kedua-dua belah kuasa salingan untuk memisahkan pembolehubah].untuk memisahkan pembolehubah].

Contoh (2)Contoh (2)

• SelesaikanSelesaikan

Penyelesaian: Penyelesaian:

Latihan 1Latihan 1

Latihan 2Latihan 2

Latihan 3Latihan 3

Latihan 4Latihan 4

Latihan 5Latihan 5

Latihan 6Latihan 6