DERET TAK HINGGA

RETNO ANGGRAINI

BARISAN Barisan adalah fungsi yg domainya

himpunan bilangan asli Contoh : a1,a2,……,an ditulis {an} Barisan dikatakan konvergen jika : - Limit an = ada n ~ Barisan yang divergen jika Limit an = ~ n ~

DERET Deret adalah jumlah dari barisan ~ ∑ an disebut deret

n=1 Jumlah parsial ke n dari deret (Sn)

merupakan jumlah deret hingga suku ke n Sn = a1 + a2 +a3+……+an

DERET TAK BERHINGGA Deret tak berhingga adalah jumlah dari

suatu barisan dengan suku ke n adalah sampai pada batas yang tak terhingga

~ ∑ an disebut deret tak berhingga

n=1 karena suku ke n yang diinginkan sampai batas tidak terhingga

Deret konvergen dan divergen Deret konvergen jika barisan {Sn} dari

jumlah parsial ke n adalah konvergen Deret divergen jika barisan {Sn} dari

jumlah parsial ke n adalah divergen a1 + a2 + …+ an = S jika {Sn} divergen ke ~ maka deret

divergen ke ~ jika {Sn} konvergen ke S maka deret

konvergen ke S atau jumlahnya sama dengan S

DERET GEOMETRI Deret Geometri = a + ar + ar2+….+arn

konvergen jika a=0 atau jika lrl < 1 jika a = 0 dan lrl < 1 maka ~ ∑ ar n-1 = 1 / (1-r) n=1 jika a = 0 dan lrl > 1 maka DERET ADALAH DIVERGEN

DERET “P” DERET P ADALAH 1 + 1/2P + 1/3P + ….+1/NP

Deret akan konvergen jika p > 1 dan deret akan divergen ke ~ jika p < 1 jika p =1 deret menjadi 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n maka deret disebut sebagai deret harmonis dan akan divergen ke ~

DERET EKSPONEN Deret eksponen adalah 1+ r/1! +r2/2!+…+ r n-1/(n-1)!

Dimana deret akan konvergen untuk setiap nilai r

Jika r = 1 deret menjadi 1+1/1!+1/2!+1/3!+….+ 1/(n-1)!

SIFAT DASAR DERETJika ∑ an dan ∑ bn merupakan dua deret n=1 n=1

yg konvergen dan k konstanta maka: 1. ∑ (an + bn ) konvergen

2. ∑ k an konvergen

~ ~

~

~n=1

n=1

TES KONVERGENSI1. Test Deret ∑ an akan divergen jika lim an = 0

n=1 akan konvergen jika lim an=0 2. Test Leibnitz Deret berayun : a1–a2+a3-…+(-1)n-1 a + ….

dgn an semuanya pos / neg konvergen jika :

i. an ≥ a n+1 utk setiap n

ii. Lim an = 0

n ~

Test PerbandinganDeret Positif : ∑ an konvergen jika ada

Konvergen positif ∑ bn sedemikian hingga an ≤ bn

Divergen positif sede,ikiam hingga an ≥ bn

Test rasio utk deret positifPada deret positif ∑ an Jika : Lim an+1 < 1, konvergen

an > 1, divergen = 1 test gagal

Test Rasio UmumPada sembarang deret tk berhingga : ∑ an dgn an ≠ 0, utk setiap n

Maka jika Lim an+1 < 1, deret konvergen mutlak ~ an > 1, deret divergen = 1 , atau tdk ada, test gagal

Test IntegralAndaikan : f(x) continu, tdk negatif dan turun utk 1≤x≤~ Maka deret: ∑ f(n) konvergen

Jika ∫ f(x) dx konvergen

Test akar ke n Jika: Lim √ lunl = A Maka : ∑ un

1. Konvergen mutlak kalau A < 12. Divergen kalau A> 13. Tak dpt disimpulkan kalau A=1

n

Konvergensi mutlakDeret : a1+a2+…+an+… disebut konvergen mutlak jika Deret : a1 + a2 + …. + an konvergen

Theorama : Jika suatu deret konvergen mutlak maka deret tersebut juga konvergen. Suatu deret yg konvergen tetapi tdk konvergen mutlak disebut konvergen bersyarat

DERET FUNGSI

Deret fungsi adalah deret yang suku sukunya

adalah suatu fungsi yaitu : ∑ fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +…….Himpunan nilai x utk deret ini konvergensi ke lim L(x) dinamakan daerah konvergensi deret fungsi, dan limit L(x) dinamakan jumlah deret fungsi

Sn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) +…….Utk x dlm daerah konvergensi L(x) =Lim Sn (x)

Selisih L & Sn dinamakan sisa Rn (x) = L(x) – Sn(x)

N ~

DERET PANGKAT/deret kuasa• Adalah deret fungsi yang sukunya fungsi

pangkat cnxn

∑ = c0 + c1x + c2x2 + ….

• Nilai x utk mana deret ini konvergen dpt diperoleh dgn test rasio umum.

• Deret pangkat juga dapat dlm bentuk (x-a) yaitu : co + c1(x-a)+c2(x-a)2+….

Daerah konvergensiDaerah konvergensi utk deret pangkat dlm (x-a) dpt diperoleh dgn :

-R < x-a < R atau a-R < x < a+RDimana Lim cn = R

Titik x=a adalah pusat konvergensi yg radiusnya R. Dipinggir daerah konvergensi mk deret dpt konvergenatau divergen. Diluar daerah konvergen nilainya dalah Divergen.

~ Cn+1

THEORAMA TAYLOR DAN SUKU SISA LAGRANGE

Jika suatu f(x) adalah sedemikian hingga :1. f(x),f’(x),f’’(x),…f(n-1)(x) adalah kontinu dlm selang

{a,a+h}2. f(n)(x) ada dlm selang {a,a+h} maka f(a+h)=f(a)+hf’(a)+h2 f’’(a)+…h(n-1)f(n-1)(a)+Rn

Dimana

Rn = hn/n! f(n) (a+θh) : 0< θ <1

Bentuk sisa Rn ini disebut sisa suku lagrange

2! (n-1)!

DERET TAYLOR• Jika f(x) dpt dikembangkan (diekspansikan) menurut deret

pangkat dari (x-a) maka : f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+…

• Jika Polinomial f(x) dibagi (x-a) maka sisa : S = f(a)

jika polinomial f(x) dibagi (x-a)2 maka sisa :

S = f(a)+(x-a) f’(a)• Syarat perlu dan cukup bahwa a adalah akar rangkap k

dari persm polinomial f(x) = 0 adalah: f(a)=f’(a)=f’’(a)=f’’’(a)=f(k-1)(a) = 0 dan fk(a) ≠ 0

2! 3! 4!

DERET MC LAURINMerupakan deret khusus dari deret taylor dengan nilai a = 0, Maka :f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)+(x-a)2 f’’(a)+(x-a)3f’’’(a)+(x-a)4f’’’’+..

Shg dgn a = 0 maka:f(x)=f(0)+(x-0) f’(0)+(x-0)2/2! f’’(0)+ (x-0)3 /3! f’’’(0)+.. =f(0)+xf’(0)+x2/2! f’’(0)+ x3/3! f’’’(0)+..

22

2! 3! 4!

DERET BINOMIALMerupakan deret Mclaurin yang khusus dimana untuk f(x) =(1+x)m, dgn m bil riil, shg : f(x) =(1+x)m : f(0) =1 f(x)’ = m(1+x)m-1 : f’(0) = m f(x)’’=m(m-1)(1+x)m-2 : f’’(0) = m(m-1) f(x)’’’=m(m-1)(m-2)(1+x)m-3 : f’’’(0) = m(m-1)(m-2)Maka :(1+x)m = 1+mx+m(m-1)/2! x2+m(m-1)(m-2)/3! x3+..Dengan x < 1 disebut deret binomial

Contoh