Post on 21-Jul-2015
FUNGSI BESSEL
DISUSUN OLEH KELOMPOK III
Nama Anggota : Desrianah 2007.121.246 Titin Yuniarti 2007.121.254 Okta Herlaiza 2007.121.2 Septia Julita 2007.121.278 Dessy Adetia 2007.121.440 Esca Oktarina 2007.121.459 Semester : 6L Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Matematika Lanjutan
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
2009/2010
FUNGSI BESSEL
PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL
Fungsi Bessel dibangun sebagai penyelesaian persamaan diferensial.
( ) 0''' 222 =−++ ynxxyyx , 0≥n (1)
yang dinamakan persamaan diferensial Bessel. Penyelesaian umum (1) diberikan
oleh
)()( 21 xYcxJcy nn += (2)
Penyelesaian )(xJ n , yang mempunyai limit berhingga untuk x mendekati nol
dinamakan fungsi Bessel jenis pertama dan berorde n. penyelesaian )(xYn
yang tak mempunyai limit berhingga [yaitu tak terbatas] untuk x mendekati
nol dinamakan fungsi Bessel jenis keduan dan berorde-n atau fungsi
Neumann.
Jika peubah bebas x pada (1) diganti xλ di mana λ suatu konstanta,
persamaan yang dihasilkan adalah
( ) 0''' 2222 =−++ ynxxyyx λ (3)
Yang mempunyai penyelesaian umum )()( 21 xYcxJcy nn λλ += (4)
FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA
Didefinisikan fungsi Bessel jenis pertama berorde n sebagai
( ) ( ) ( )( )
−++⋅
++
−+Γ
= ...422242222
112
)(42
nn
x
n
x
n
xxJ
n
n
n (5)
Atau ( )
( )∑∞
=
+
++Γ
−=
0
2
1!2
1)(
r
rnr
n rnr
x
xJ (6)
Di mana ( )1+Γ n adalah fungsi gamma [Bab 9]. Jika n bilanngan bulat positif,
( ) !1 nn =+Γ , ( ) 11 =Γ . Untuk n = 0, (6) maka
...642422
1)(222
6
22
4
2
2
0 +−+−= xxxxJ (7)
Deret (6) konvergen untuk setiap x. Grafik )(0 xJ dan )(1 xJ ditunjukkan pada
Gambar 10-1.
Jika n setengah atau bilangan ganjil positif, )(xJ n dapat dinyatakan dalam
suku-suku sinus dan cosinus. Lihat Soal 10.4 dan 10.7.
Sebuah fungsi )(xJ n− , n > 0 dapat didefinisikan dengan mengganti n oleh –n
pada (5) atau (6). Jika n suatu bilangan bulat, maka kita dapat menunjukkan
bahwa [lihat Soal 10.3]
( ) )(1)( xJxJ nn
n −=− (8)
Jika n bukan suatu bilangan bulat, maka )(xJ n dan )(xJ n− bebas linear, dan
untuk kasus ini penyelesaian umum (1) adalah
)()( xJBxAJy nn
n −+= , ,...3,2,1,0≠n (9)
FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA
Kita akan mendefinisikan fungsi Bessel jenis kedua berorde n sebagai
( )
( ) ( )
( ) ( )
−
−
=−
−
→ ππ
ππ
p
xJpxJn
xJnxJ
xYpp
nn
n
np sin
cossin
cos
lim
,...3,2,1,0
,...3,2,1,0
=
≠
n
n
(10)
Untuk kasus di mana n =0,1,2,3,… diperoleh uraian deret berikut untuk ( )xYn .
( ) ( ) ( )nkn
knn
xknxJ
xxY
−−
=
−−−
+
= ∑21
0 2!1
12
ln2
πγ
π
( ) ( ) ( ){ } ( )!!211
1
2
1
0 knk
x
kk
nk
n
k
k
+
+Φ+Φ−−
+
−
=∑π
(11)
Di mana ...5772156,0=γ adalah konstanta Euler dan
( )p
p1
...3
1
2
11 ++++=Φ , ( ) 00 =Φ (12)
FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK ( )xJn
(GENERATING FUNCTION)
Fungsi ( )∑∞
−∞=
−=
n
nn
tt
x
txJe1
2 (13)
dinamakan fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel jenis pertama berorde
bulat, yang sangat banyak gunanya dalam memperoleh sifat-sifat fungsi ini
untuk nilai n bulat dan kemudian seringkali dapat dibuktikan berlaku untuk
semua n.
RUMUS-RUMUS PENGULANGAN (RECURRENCE FORMULA)
Hasil berikut ini berlaku untuk setiap nilai n.
1. ( ) ( ) ( )xJxJx
nxJ nnn 11
2−+ −=
2. ( ) ( ) ( )[ ]xJxJxJ nnn 112
1' +− −=
3. ( ) ( ) ( )xxJxnJxxJ nnn 1' +−=
4. ( ) ( ) ( )xnJxxJxxJ nnn −= −1'
5. ( )[ ] ( )xJxxJxdx
dn
nn
n1−=
6. ( )[ ] ( )xJxxJxdx
dn
nn
n1+
−− −=
Jika n adalah suatu bilangan bulat rumus tersebut dapat dibuktikan dengan
fungsi pembangkit. Perhatikan bahwa hasil 3 dan 4 berturut-turut setara
dengan 5 dan 6.
Fungsi ( )xYn memenuhi hasil yang sama seperti di atas, di mana ( )xYn
menggantikan ( )xJ n .
FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL
1.Fungsi Hankel Jenis Pertama dan Kedua, yang berturut-turut
didefinisikan oleh
( )( ) ( ) ( )xiYxJxH nnn +=1 , ( ) ( ) ( ) ( )xiYxJxH nnn +=2
2.Fungsi Bessel yang Dimodifikasi. Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis
pertama berorde n didiefinisikan oleh
( ) ( ) ( )ixJixJixI nnn
n
in
e 2π
== − (14)
Jika n bilangan bulat, ( ) ( )xIxI nn =− (15)
Tetapi jika n bukan bilangan bulat, ( )xIn dan ( )xI n− bebas linear.
Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis kedua berorde n didefinisikan oleh
( )
( ) ( )
( ) ( )
−
−
=−
−
→ ππ
ππ
p
xIxI
n
xIxI
xKpp
nn
n
np sin2
sin2
lim
,...3,2,1,0
,...3,2,1,0
=
≠
n
n
(16)
Fungsi ini memenuhi persamaan diferensial
( ) 0'" 222 =+−+ ynxxyyx (17)
dan penyelesaian umum persamaan ini adalah
( ) ( )xKcxIcy nn 21 += (18)
atau jika ,...3,2,1,0≠n ( ) ( )xBIxAIy nn −+= (19)
3.Fungsi Ber, Bei, Ker, Kei. Fungsi ( )xBern dan ( )xBein adalah bagian riil
dan imajiner dari
xiJ n
23
di mana ( )ieii
−
== 1
2
24
3
2
3 π
, yaitu
( ) ( )xiBeixBerxiJ nnn +=
23
(20)
Fungsi ( )xKern dan ( )xKein adalah bagian riil dan imajiner dari
−
xiKe n
in
21
2π
di mana ( )ieii
+
== 1
2
2421 π
, yaitu
( ) ( )xnxnn
in
iKeiKerxiKe +=
−2
1
2
π
(21)
Fungsi-fungsi ini berguna sehubungan dengan persamaan
( ) 0'" 222 =+−+ ynixxyyx (22)
yang membangun teknik kelistrikan dan lapangan lainnya. Penyelesaian
umum dari persamaan ini adalah
+
= xiKcxiJcy nn
21
223
1 (23)
PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN KE DALAM
PERSAMAAN BESSEL
Persamaan
( ) ( ) 0'12" 2222 =+−++ yxxykyx r βα (24)
di mana k, α , r, β konstanta mempunyai penyelesaian umum
+
= −
r
r
k
r
r
kk
r
xYc
r
xJcxy
αα21 (25)
di mana 22 β−= kK . Jika 0=α , persamaannya dapat diselesaikan
sebagai persamaan Euler atau Cauchy [lihat halaman 83]
RUMUS ASIMTOTIK UNTUK FUNGSI BESSEL
Untuk nilai x besar kita mempunyai rumus asimtotik berikut ini
( )xJ n ~
−−24
cos2 ππ
πn
xx
, ( )xYn ~
−−24
sin2 ππ
πn
xx
(26)
NILAI NOL FUNGSI BESSEL
Kita dapat menunjukkan bahwa jika n suatu bilangan riil, ( ) 0=xJ n
mempunyai tak berhingga banyaknya akar yang semuanya riil. Perbedaan di
antara akar-akar yang berurutan mendekati π jika nilai akarnya membesar.
Ini dapat dilihat dari (26). Kita dapat juga menunjukkan bahwa akar-akar
( ) 0=xJ n terletak di antara ( ) 01 =− xJ n dan ( ) 01 =+ xJ n . Catatan serupa dapat
juga dibuat untuk ( )xYn .
KETEGAK-LURUSAN (ORTHOGONALITY) FUNGSI BESSEL
Jika λ dan µ dua konstanta berbeda, kita dapat menunjukkan [lihat Soal
10.21] bahwa
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
1
0
''
µλλµλµλµµλ
−−=∫ nnnn
nn
JJJJdxxJxxJ (27)
sedangkan [lihat Soal 10.22]
( ) ( ) ( )
−+=∫ λ
λλλ 2
2
221
0
2 1'2
1nnn
Jn
JdxxxJ (28)
Dari (27) kita lihat bahwa λ dan µ adalah dua akar berbeda dari persamaan
( ) ( ) 0' =+ xSxJxRJ nn (29)
di mana R dan S konstanta, maka
( ) ( ) 01
0=∫ dxxJxxJ nn µλ (30)
yang menyatakan bahwa fungsi ( )xJx n λ dan ( )xJx n µ tegaklurus pada
(0,1). Perhatikanlah bahwa sebagai kasus khusus (29) kita melihat bahwa λ
dan µ dapat merupakan dua akar berbeda dari ( ) 0=xJ n atau ( ) 0' =xJ n .
Kita dapat juga mengatakan bahwa fungsi-fungsi ( )xJ n λ , ( )xJ n µ tegaklurus
terhadap fungsi kepadatan x.
DERET FUNGSI-FUNGSI BESSEL
Seperti pada kasus Deret Fourier, kita dapat menunjukkan bahwa jika f(x)
memenuhi syarat Dirichlet [di halaman 197] maka di setiap titik kekontinuan
f(x) pada selang 0 < x < 1 terdapat suatu uraian deret Bessel yang berbentuk
( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=
=++=1
2211 ...p
pnpnn xJAxJAxJAxf λλλ (31)
di mana ,..., 21 λλ adalah akar-akar positif (29) dengan 0≥S
R, 0≠S dan
( )( ) ( )dxxfxJx
JS
Rn
A pn
pnp
pp λ
λλ
λ∫
+−
=1
02
2
222
22 (32)
Di titik ketak-kontinuan deret di ruas kanan (31) konvergen ke
( ) ( )[ ]002
1 −++ xfxf yang dapat digunakan untuk menggantikan ruas kiri
(31).
Dalam kasus S = 0 sehingga ,..., 21 λλ adalah akar-akar dari ( ) 0=xJ n ,
( ) ( ) ( )dxxfxJxJ
A pnpn
p λλ ∫
+
=1
021
2 (33)
Jika R = 0 dan n = 0, maka deret (31) dimulasi dengan suku tetap
( )dxxfxAp ∫=1
02 (34)
SOAL-SOAL DAN PENYELESAIANNYA
PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL
10.1 Gunakan metode Frobenius untuk menentukan deret penyelesaian persamaan
diferensial Bessel ( ) 0'" 222 =+++ ynxxyyx .
Andaikan suatu jawaban berbentuk ∑ += βkk xcy di mana k bergerak
dari ∞− sampai ∞ dan 0=kc untuk k < 0, maka
( ) ∑∑∑∑ ++−
+++ −=−=+ ββββ kk
kk
kk
kk xcnxcxcnxcynx 2
22222
( )∑ ++= ββ kk xckxy'
( )( )∑ +−++= βββ kk xckkyx 1"2
Kemudian, dengan menjumlahkannya diperoleh
( )( ) ( )[ ]∑ =−+++−++= +− 01" 2
22 ββββ k
kkkk xcncckckkyx
dan karena koefisien β+kx harus nol, diperoleh
( )[ ] 0222 =+−+ −kk ccnk β (1)
Andaikan k = 0 pada (1); karena 02 =−c maka diperoleh persamaan awal
( ) 0022 =− cnβ ; atau andaikan 00 ≠c , 22 n=β . Kemudian, tinjaulah dua
kasus, n−=β dan n=β . Pertama akan dipandang kasus pertama n=β , dan
kasus kedua diperoleh dengan menggantikan n oleh –n.
Kasus 1, n=β .
Dalam kasus ini (1) menjadi
( ) 02 2 =++ −kk ccknk (2)
Ambillah ,...4,3,2,1=k secara berurutan pada (2), kita mempunyai
01 =c , ( )2220
2 +−=n
cc , 03 =c , ( ) ( )( )422242424
024 ++⋅
=+
−=nn
c
n
cc , …
Jadi deret yang diinginkan adalah
( ) ( )( )
−
++⋅+
+−=+++= ++ ...
4222422221...
42
04
42
20 nn
x
n
xxcxcxcxcy nnnn (3)
Kasus 2, n−=β .
Gantilah n oleh –n pada Kasus 1, diperoleh
( ) ( )( )
−
−−⋅+
−−= − ...
4222422221
42
0 nn
x
n
xxcy n (4)
Sekarang, jika n = 0 kedua deret sama. Jika ,...2,1=n deret kedua tidak
mungkin ada. Tetapi bila ,...2,1,0≠n kedua deret tersebut dapat ditunjukkan
bebas linear sehingga untuk kasus ini penyelesaian umumnya adalah
( ) ( )( )
−
++⋅+
+−= ...
4222422221
42
nn
x
n
xCxy n
( ) ( )( )
−
−−⋅+
−−+ − ...
4222422221
42
nn
x
n
xDx n (5)
Kasus untuk ,...3,2,1,0=n akan dibicarakan kemudian [lihat Soal 10.15 dan
10.16].
FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA
Gunakan definisi (5) dari )(xJ n yang diberikan pada halaman 240 untuk
menunjukkan bahwa jika ,...3,2,1,0≠n maka penyelesaian umum pada
persamaan bassel adalah )()( xBJxAJy nn −+= untuk kasus ,...3,2,1,0≠n
1.Buktikanlah (a) ,sin2
)(21 xx
xJπ
= (b) ,cos2
)(21 xx
xJπ
=−
(a) )(21 xJ
( )
( )
xxx
xxxxx
xxx
r
x
r
x
r
x
rrr
x
r
rr
sin2sin
)2/1(
)2(...
!5!31
)2/1(
)2(
...)2/1)(2/3(2/5!2
)2(
)2/1)(2/3(!1
)2(
)2/1(
)2(
...)2/7(!2
)2(
2/5!1
)2(
)23(
)2(
)23(!
)2()1(
214221
272521
292521
0
221
πππ
πππ
==
−+−=
−+−=
−+−=+
−=∑∞
=
+
(b) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) ...
2/5!2
2/
2/3!1
2/
2/1
2
21!
21 2/7
0
2/32/1221
21 −+−=+
−=∑∞
=
−+−
− r
x
r
x
r
x
rrr
xxJ
r
rr
=( )
xx
xxxcos
2...
!4!21
2 4221
ππ=
−+−−
2.Hitunglah (a) ( )dxxJx∫ 14 , (b) ( )dxxJx∫ 3
3
(a) Metode 1.Metode pengintralan parsial memberikan
( ) ( ) ( )[ ]∫∫ = dxxJxxdxxJx 122
14
= ( )[ ] ( )[ ][ ]∫− xdxxJxxJxx 222
222
( ) ( )( ) ( ) cxJxxJx
dxxJxxJx
+−=
−= ∫2
32
4
23
24
2
2
(b) Metode 2. Gunakanlah ),()( 01 xJxJ −= diketahui
{ }[ ] [ ] [ ][ ]
{ }∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
−−=−=
−==
−−=−=
dxxxJxJxdxxJxdxxJx
xdxxxJxxJxdxxxJxdxxJx
dxxJxxJxdxxJxdxxJx
)(2)()()(
2)()()()(
)(4)()()(
0021
02
12
112
02
02
03
041
04
14
)(2)( 102 xxJxJx +=
Maka { }[ ] cxxJxJxxJxxJxdxxJx ++−−+−=∫ )(2)(2)(4)()( 102
13
04
14
)()164()()8( 12
042 xJxxxJxx −+−=
[ ]dxxJxxdxxJx )()( 325
33 −
∫∫ =
[ ] [ ]
∫
∫+−=
−−−= −−
dxxJxxJx
dxxxJxxJxx
)(5)(
5)()(
22
23
42
22
25
[ ]dxxJxxdxxJx )()( 213
22 −
∫∫ =
[ ] [ ]
∫
∫+−=
−−−= −−
dxxxJxJx
dxxxJxxJxx
)(3)(
3)()(
112
21
11
13
[ ]∫∫∫ −−=−= dxxJxxJdxxxJdxxxJ )()()()( 00101
∫+−= dxxJxxJ )()( 00
Maka [ ]{ }dxxJxxJxJxxJxdxxJx )()(3)(5)()( 0012
23
23 +−+−+−=∫
∫+−−−= dxxJxxJxJxxJx )(15)(15)(5)( 0012
23
Integral ∫ dxxJ )(0 tidak dapat diperoleh dalam bentuk tertutup.secara umum ,
∫ dxxJx )(02 dapat diperoleh dalam bentuk tertutup jika 0≥+ qp dan qp +
genap hasilnya dapat diperoleh dalam suku-suku ∫ dxxJ )(0 .
a) Buktikanlah ( ) ( ) ( )x
nxJxJxJxJ nnnn π
πsin2)('' =− −−
b) Bahaslah arti hasil (a) dipandang dari kebergantungan linear )(xJ n dan )(xJ n−
c) Karena )(,),( xJdanxJ nn − ,berturut-turut disingkat ),(xdanJJ nn − memenuhi
persamaan bassel,maka
( ) ( ) 0,0 22'"222'"2 =−++=−++ −−− nnnnnn JnxxJJxJnxxJJx katakanlah
persamaan pertama dengan nJ− dan kedua dengan nJ dan kurangkanlah.
Maka yang dapat ditulis
[ ] [ ][ ] [ ] 0
0
''''
''""2
=−+−
=−+−
−−−−
−−−−
nnnnnnnn
nnnnnnnn
JJJJJJJJdx
dx
JJJJxJJJJx
Atau [ ]{ } 0'' =− −− nnnn JJJJxdx
d
Integralkanlah ,kita memperoleh x
cJJJJ nnnn =− −−
''
Untuk menentukan c gunakanlah uraian deret nJ dan nJ− ,diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ...2
...,12
...,2
...,12
1'
1' −
−=−
+−=−=−
+= −
−−
−−
−
−
+
nr
xJ
nr
xJ
nr
xJ
nr
xJ
n
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
Dan kemudian subsitusikan pada (1), kita memperoleh
ππn
nrnrnrnrnrnrc
sin2
)1()(
2
)()1(
1
)1()(
1 =−
=−+
−−
=
Dengan menggunakan hasil 1,dihalaman 227. Ini memberikan hasil yang diinginkan.
a) Bentuk nnnn JJJJ ''−− − pada (a) adalah determinan Wronski dari nJ dan nJ− . Jika n
bilangan bulat kita lihat dari (a) bahwa determinan wronski ini nol;sehingga nJ dan
nJ− bergantungan linear dan dan juga jelas dari soal 10.3(a). dalam hal lain,jika n
bukan bilangan bulat , nJ dan nJ− keduanya bebas linear karena pada kasus ini
determinan wronskinya tak nol.
FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL LAINNYA
1)Buktikanlah ( )( ) n
nn
ttxtxJe ∑
∞
−∞=
− = )(1
2
Kita mempunyai
( )( ) ( ) ( ) ( )
∑∑∑∑∞
=
∞
=
−+∞
=
∞
=
−− −=
−
==0 000
2212
!!
2)1(
!
2
!
2
r k
krkrk
k
k
r
rxxxtttx
kr
tx
k
tx
r
xteee
Andaikan nkr =− sehingga n bergerak dari ∞− sampai ∞+ , maka jumlahnya
menjadi
( ) ( ) n
nn
n
n k
knk
n k
nknk
txJtknk
x
kkn
tx)(
)!(!
2)1(
!)!(
2)1(
0
2
0
2
∑∑ ∑∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
=
+∞
−∞=
∞
=
+
=
+−=
+−
2)Buktikanlah (a) ...4cos)(22cos)(2)()sincos( 420 +++= θθθ xJxJxJx
(b) ...5sin)(23sin)(2sin)(2)sinsin( 531 +++= θθθθ xJxJxJx
Andaikan θiet = pada soal 1,maka
[ ]θθθθθθ
ninxJexJee nin
nixeex ii
sincos)()(sin)(21
+=== ∑∑∞
∞−
∞
∞−
− −
[ ] [ ]{ }
[ ] [ ]{ }...2sin)()(sin)()(
...2cos)()(cos)()()(
2211
22110
++++++++++=
−−
−−
θθθθ
xJxJxJxJi
xJxJxJxJxJ
{ } { }...3sin)(2sin)(2...2cos)(2)( 3120 +++++= θθθ xJxJixJxJ
Dimana kita telah menggunakan soal 10.3(a). samakan bagian riil dan imajinernya
untuk peroleh hasil yang diinginkan.
3)Buktikanlah ,...2,1,0,)sincos(1
)(0
=−= ∫ ndxnxJ n θθθπ
π
Kalikan hasil pertama dan kedua soal 2.berturut-turut dengan cara θncos dan
θnsin dan integralkan dari 0 sampai π dengan menggunakan
=∫0
20
coscos π
π
θθθ dnm nm
nm
=≠
=∫0
20
sinsin π
π
θθθ dnm 0≠=
≠nm
nm
Kemudian jika n genap atau nol diperoleh :
θθθπ
π
dnxxJ n cos)sincos(1
)(0∫= , θθθ
π
π
dnx sin)sinsin(1
00∫=
Dan dengan menjumlahkannya diperoleh :
[ ] ∫∫ −=+=ππ
θθθπ
θθθθθπ 00
)sincos(1
sin)sinsin(cos)sincos(1
)( dxndnxnxxJ n
Dengan cara serupa ,jika n ganjil ,maka
θθθπ
π
dnxxJ n sin)sinsin(1
)(0∫= , θθθ
π
π
dnx sin)sincos(1
00∫=
Dan dengan menjumlahkannya diperoleh
θθθπ
π
dxnxJ n ∫ −=0
)sincos(1
)(
Jadi kita memperoleh hasil yang berlaku untuk n genap atua ganjil ,yaitu n=0,1,2,…
4)Buktikanlah hasil soal 10.6(b) untuk nilai bulat n dengan menggunakan fungsi
pembangkit.
Diferensialkan kedua ruas fungsi pembangkit terhadap t tanpa menuliskan limit
∞− sampai ∞+ untuk indeks n.
( )( ) ∑ −− =
+ 12
12 )(1
12
nn
ttx txnJt
xe
Atau ∑∑ −=
+ 12
)()(1
12
nn
nn txnJtxJ
t
x
Yaitu ∑∑ −=
+ 12
)()(1
12
nn
nn txnJtxJ
t
π
Ini dapat ditulis sebagai
∑∑∑ −− =+ 12 )()(2
)(2
nn
nn
nn txnJtxJtxJ
ππ
Atau n
nnn
n txJnttxJ )()1(2
)(2 1∑∑∑ ++=+ ππ
Yaitu n
nn
nn txJntxJxJ )()1()(2
)(2 12 ∑∑ ++ +=
+ ππ
Karena koefisien nt harus sama ,maka
)()1()(2
)(2 2 xJnxJxJ nnn +=+ +
ππ
Dan dari sini hasil yang diinginkan diperoleh dengan mengganti n oleh n-1.
FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA
1 (a)Tunjukkan bahwa jika n bilangan bulat,penyelesaian umum persamaan Bessel adalah
y = EJn ( ) ( ) ( )
−+ −
ππn
xJnxJFx nn
sin
cos
(b)Jelaskanlah bagaimana anda dapat menggunakan bagian (a) untuk
memperoleh penyelesaian umum persamaan bessel dalam kasus n bulat.
FUNGSI BESSEL
(a) Karena nJ− dan nJ bebas linear,Penyelesaian umum persamaan bessel
dapat ditulis : y = ( ) ( )xJcxJc nn −+ 21
dan hasil yang diinginkan diperoleh dengan mengganti konstanta sebarang
21 cc ⋅ oleh E dimana
πππ
n
Fc
n
nFEc
sin,
sin
cos21
−=−+=
Perhatikanlah bahwa kita mendefinisikan fungsi bessel jenis kedua bila n bukan suatu bilangan bulat dengan
Y ( ) ( ) ( )π
πn
xJnxJx nn
n sin
cos −−=
(b) Bentuklah ( ) ( )
ππn
xJnxJ nn
sin
cos −−
Menjadi suatu “tak tentu / indeterminate” yang berbentuk 0/0 untuk kasus n suatu bilangan bulat.Hal ini disebabkan untuk suatu bilangan n,diketahui
( ) ( ) ( ) ( )xJxdanJn nn
nn 11cos −=−= −π lihat soal 10.3. “ bentuk tak tentu”
ini dapat dihitung dengan rumus L’Hospital,yaitu
( ) ( )
− −
→ ππp
xJpxJ np
np sin
coslim
Gunakanlah soal 1 untuk memperoleh penyelesaian umum persamaan untuk n=0 Dalam kasus ini harus dihitung
( ) ( )
− −
→ ππp
xJpxJ pp
p sin
coslim
0
Gunakanlah rumus L’Hospital (turunkan pembilang dan penyebut terhadap p)pada limit (1),diperoleh
00
1
cos
/(cos)/(lim
=
−−
→
∂∂−
∂∂=
∂∂−∂∂
p
PPPp
p p
J
p
J
p
JpJppJ
ππππ
Dimana lambang yang digunakan menyatakan bahwa kita mengambil turunan parsial dari ( ) ( )xdanJxJ pP − terhadap p dan kemudian mengambil p=0.Karena
( ) .// pJpJ pP ∂−∂=−∂∂ −− limit yang diinginkan juga sama dengan 0
2=∂
∂p
p
p
J
π
Untuk memperoleh pJ p ∂∂ / diturunkan deret
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
+
++−=
0
2
1!
2/1
r
rpr
p rprr
xxJ
Terhadap p dan diperoleh
( ) ( )( )
++∂∂−=
∂∂ +∞
=∑ 1
2/
!
1 2
0 rpr
x
prp
J rp
r
rP
Sekarang jika seandainya ( )( ) G
rpr
x rp
=++
+
1
2/ 2
, maka
Ln ( ) ( ) ( )1ln2/ln2 ++−+= rprxrpG
Sehingga turunanya terhadap p memberikan
( ) ( )( )1
112/ln
1
++++−=
∂∂
rpr
rpx
p
G
G
Maka untuk p=0 diperoleh
( )( ) ( ) ( )
( )
++−
+=
∂∂
= 1
1'2/ln
1
2/ 2
0rr
rrx
rr
x
p
G r
p
Gunakan (2) dan (3) , diperoleh
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
++−
+−=
∂∂
∑∞
== 1
1'2/ln
1!
2/122
0
2
0rr
rrx
rrr
x
p
J
r
rr
p
p
ππ
= ( ){ } ( )
+
+−++ ...2
11
422
22/ln
222
4
2
3
0
xxxJx
πγ
π
Dimana deret terakhir diperoleh dengan menggunakan hasil (6)dihalaman 240.deret terakhir ini adalah deret untuk Y)(0 x .Dengan cara yang sama kita
dapat memperoleh deret (11) dihalaman 241 untuk Y)(xn dimana n sebuah
bilangan bulat.Jika n sebuah bilangan bulat,maka penyelesaian umumnya diberikan oleh ( ) ( )xYcxJcy nn 21 +=
FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL
2. Buktikanlah rumus pengulangan untuk fungsi bessel jenis pertama
yangtelah dimodifikasi ln (x)yang diberikan oleh
I ( ) ( ) ( )xIx
nxIx nnn
211 −= −+
Dari soal 10.6(b)kita memperoleh
)()(2
)( 11 xJxJx
nxJ nnn −+ −=
Gantilah x dengan ix untuk memperoleh
)()(2
)( 11 ixJixJx
inixJ nnn −+ −−=
Sekarang menurut definisinya )()( ixnJixI nn −= atau )(xIi n
n sehingga
(2)menjadi )()(2
)( 11
1 xIixIix
inxIi n
nn
nn
n −+
+ −−=
Bagilah dengan 1+ni ,maka hasil yang diinginkan tercapai.
3. Jika n bukan suatu bilangan bulat,tunjukkanlah bahwa
(a) πni
xJexJxH n
inxn
n sin
)()()()1(
−− −=
Menurut definisi makaxdanYxH nn ),()()1(
−+=+= −
ππn
xJnxJixJxiYxJxH nn
nnnn sin
)(cos)()()()()()1(
=π
ππn
xiJnxiJnxJ nnn
sin
)(cos)(sin)( −−+
=
−− −
πππ
n
xJninxJi nn
sin
)()sin)(cos(
=
− −−
πn
xJexJi n
inxn
sin
)()(
=πni
xJexJ ninx
n
sin
)()( −− −
(b) πni
xJxJexH nn
inx
n sin
)()()()2( −−=
Karena ),()()()2( xiYxJxH nnn −= denhan mengganti i oleh –i pada hasil (a)
maka diperoleh
πni
xJexJxH n
inxn
n sin
)()()()2(
−−= −
=πni
xJxJe nninx
sin
)()( −−
4. Tunjukkanlah (a) Ber ...864242
1)(2222
8
22
4
0 −+−= xxx
Bei ...1086426422
)(22222
10
222
6
2
2
0 −+−= xxxx
FUNGSI BESEEL
Diketahui:
+−+
−+−=
−+−−+=
−+−+−=
−
+
−
+
−=
...6422
...864242
1
...8642642422
1
...8642642422
1
...8642642422
1
222
8
2
2
2222
8
22
4
2222
8
222
6
22
4
2
2
2222
812
222
69
22
46
2
23
2222
82
3
222
62
3
22
42
3
2
22
3
23
0
zzi
zz
zizziz
zizizizi
zizizizizir
Dan hasil yang diinginkan tercapai dengan mengingat bahwa
( ) ( )daniBeiBerJ zzzi
+=
00 2
33menyamakan bagian riil dan imajinernya.perlu
dicat bahwa kadang-kadang menghilangkan indeks nol dalam ( ) ( ).00 zdanBeizBer
PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN NKE DALAM PERSAMAAN BESSEL
1.. tentukan penyelesaian umum persamaan .0''' =++ ayyxy
Pesamaan tersebut dapat ditulis sebagai 0''' =++ axyxyyx z dan merupakan suatu ------khusus dari persamaan (24) di halaman 242dimana
,,0 aak == r = 0,21
=β maka penyelesaian seperti diberikan 242
adalah
( ) ( )axycaxJcy 22 0201 +=
KETEGAK LURUSAN FUNGSI BESEEL
2.Buktikanlah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
''1
0 µλλµλµλµµλ
−−
=∫ nnnnn
n
JJJJdxxJxxJ jika .µλ ≠
Dari (3) dan (4) dihalaman 240,kelihatan bahwa ( )xJy n λ=1 dan
( )xJy n µ=2
Adalah penyelesaian persamaan
( ) ( ) 0,0 2222'
2''
22
1222'
1''
12 =−++=−++ ynxxyyxynxxyyx µλ
Dengan pengalikan persamaan dengan 2y dan 2 dengan 1y dan kemudian kurangkan, kita memperoleh
[ ] [ ] ( ) 21222'
21'
12''
21''
122 yyxyyyyxyyyyx λµ −=−+−
Setelah dibagi dengan x dapat ditulis sebagai berikut
[ ] [ ] ( ) 2122'
21'
12'
21'
12 yxyyyyyyyyydx
dx λµ −=−+−
Atau
[ ]{ } ( ) 2122'
21''
12 yxyyyyyxdx
d λµ −=−
Kemudian integralkan dan hilangkan konstanta pengintegralannya,
( ) [ ]∫ −=− '21
'1221
22 yyyyxdxyxyλµ
Lalu gunakan ( ) ( )xJyxJy nn µλ == 21 , dan bagikan dengan ,022 ≠− λµ
maka
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ −
−=
22
''
λµµλµλµλµλ xJxJxJxJx
dxxJxxJ nnnnnn
Jadi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
''1
0 λµµλµλµλµλ
−−
=∫ nnnnnn
JJJJdxxJxxJ
Yang ekivalen dengan hasil yang diinginkan.
3. buktikan ( ) ( ) ( ) .12
1 2
2
221
0
2
−+=∫ λ
λλλ nnn J
nJdxxxJ
misalkan λµ → pada hasil soal no 2.dengan mengunakan rumus L hospital diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
µµλµµλλµλλµ
λµ 2
'''1
0
2
lim nnnnnnn
JJJJJJdxxJ
−−=
→∫
( ) ( ) ( ) ( )
λλλλλλλλ
2
'''2'nnnnn JJJJJ −−
=
Tetapi karena ( ) ( ) ( ) ( ) ,022'''2 =−++ λλλλλλ nnn JnJJ dengan menyelesaikan
untuk ( )λ''nJ dan mensubstusikannya diperoleh
( ) ( ) ( )
−+=∫ xJ
nJdxxxJ nnn
22
22'1
0
2 12
1
λλλ
4.buktikan bahwa jika µλdan adalah dua akar berbeda dari prsamaan
N ( ) ( ) 0' =+ xSxJxRJ nn dimana R dan S kostanta, maka
( ) ( )∫ =1
00dxxJxxJ nn µλ
Yaitu ( )xJx n λ dan ( )xJx n µ saling tegak lurus pada (0,1).
Karena λ dan µ akar dari ( ) ( ) ,0' =+ xSxJxRJ nn kita mempunyai
( ) ( ) ,0' =+ xSxJRJ Nn λ ( ) ( ) 0' =+ µµ µ nn JSRJ
Kemudian, jika 0,0 ≠≠ SR dari (1) kita memperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) 0'' =− λµµµλµ nnnn JJJJ
Sehingga dari soal 2.kita mendapatkan hasil yang diinginkan
( ) ( )∫ =1
00dxxJxxJ nn λλ
Dalam kasus 0,0 ≠≠ SR atau ,0,0 =≠ SR hasil tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah.
DERET FUNGSI BESSEL
1.Jika ( ) ( )∑= 0,xJAxf pnp λ < x >1, dimana ,...,3,2,1, =ppλ akar positif dari
( ) ,0=xJ n ditunjukkan bahwa
( ) ( ) ( )∫+
=1
021
2dxxfxxJ
JA pn
pnP λ
λ
Kalikan deret untuk f(x) dengan ( )xxJ kn λ dan integralkan suku demi suku
dari 0 sampai 1.maka
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑ ∫≈
=
=1
01p
pnknpkn dxxJxxJAdxxfxxJ λλλ
= ( )∫1
0
2 dxxxJA knk λ
= ( )kNK JA λ2'
2
1
Dimana kita telah menggunakn soal 10.22.dan 10.23 bersama-sama dengan kenyataan bahwa
( ) ( ) ( )∫=1
02'
2dxxfxxJ
JA kn
kn
K λλ
Untuk memperoleh hasil yang diinginkan dari sini,digunakan rumus pengulangan 3 dihalaman 240 yang ekivalen denga rumus 6 dihalaman itu, kita memperoleh
( ) ( ) ( )knknknk JnJJ λλλλλ 1
'+−=
Atau karena ( ) 0=knJ λ
( ) ( )knkn JJ λλ 1'
+−=
2.uraikan f(x)=1 dalam suatu deret yang berbentuk
( )∑∞
=10
ppp xJA λ
Untuk 0<x<1,jika pλ ,p=1,2,3,…, adlah akar positif dari ( ) ,00 =XJ
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ == p
dvvvJJ
dxxxJJ
App
pp
p
λ
λλλ
λ 0 021
2
1
0 021
22
= ( ) ( ) ( )pppip JvvJ
Jp
λλλλλ
10122
22 =
Dimana kita telah menggunakan penggantian xv pλ= dalam intergralnya
dan hasil soal 10.8 dengan n=1 Jadi kita memperoleh deret yangdiinginkan
( ) ( ) ( )∑∞
=
==1
01
21
pp
pk
xJJ
xf λλλ
Yang dapat ditulis sebagai ( )
( )( )
( ) 2
1...
222
20
111
10 =++λλ
λλλ
λJ
xJ
J
xJ
SOAL-SOAL TAMBAHAN PERSAMAAN DEFERENSIAL BESSEL 10.26. Tunjukanlah bahwa jika x diganti oleh xλ dimana λ kostanta, maka persamaan Bessel ( ) 022'''2 =−++ ynxxyyx ditransformasikan menjadi
( ) 0222'''2 =−++ ynxxyyx λ FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA
10.27.(a) tunjukan ( ) ...8642642422 222
7
22
5
2
5
1 +−+−= xxxxxJ dan periksalah bahwa
selang kekonvergenan adalah ∞− <x<∞ 10.28.tunjukan ( ) ( ).1
10 xJXJ −=
10.29. tunjukanlah ( )[ ] ( )xxJxxJdx
d01 =
10.30.Hitunglah (a) ( )xJ
25 dan (b) ( )xJ
25− dalam suku-suku sinus dan cosinus.
10.31.tentukanlah ( )33J dalam suku-suku ( ) ( ).10 xdanJxJ
10.32. buktikanlah bahwa ( )a ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xJxJxJxJxJ
xJxJxJxJ
nnnnn
nnnn
3113'''
22''
334
1
22
1
++−−
+−
−+−=
+−=
Dan buatlah perumusan hasil ini.
10.33 hitunglah (a) ( )∫ ,23 dxxJx (b). ( )∫
1
0 03 dxxJx (c). ( )∫ dxxJx 0
2
10.34 hitunglah (a) ( )∫ dxxJ 31 (b).
( )∫ dx
x
xJ2
2
10.35.hitunglah ( )∫ .sin0 xdxxJ
FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL TAMBAHAN 10.36 gunakanlah fungsi pembangkit untuk membuktikan bahwa
( ) ( ) ( )[ ]xJxJxJ nnn 11'
2
1+− += untuk kasus dimana n bulat.
10.37 gunakanlah fungsi pembangkit untuk mengerjakan soal 10.30 dalam kasus n bulat.
10.38 tunjukanlah ( ) ( )∫= 2
00 sincos2 π
θθπ
dxxJ
10.39 tunjukanlah ( ) ( )∫ ∑∞
=+=
x
kk xJdttJ
00
120 2
FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA 10.40. Buktikanlah ( ) ( )xYxY 1
'0 −=
10.41. hitunglah (a). ( ),21 xY (b). ( ).21 xY−
10.42.buktikanlah ( ) ( ) ( ) ( ) xxYxJxYxJ nnnn π2'' =−
10.54. Tunjukanlah ( ) ( ) θθπ
πdxxI ∫=
2
00 sincosh2
.
10.55. Tunjukanlah (a) ( ) ( )[ ]...2sinh 31 ++= xIxIx
(b) ( ) ( ) ( )[ ]...2cosh 420 +++= xIxIxIx
10.56. Tunjukanlah (a) ( )
−=
x
xx
xxI
sinhcosh
223 π
(b) ( )
−=− x
xx
xxI
coshsinh
223 π
.
10.57. (a) Tunjukanlah ( ) ( ) ( )xKx
nxKxK nnn
211 += −+
(b) Jelaskanlah mengapa fungsi ( )xKn memenuhi rumus pengulangan yang
sama seperti untuk ( )xIn dengan ( )xIn diganti dengan ( )xKn .
10.58. Berikan rumus asimtotik untuk (a) ( ) ( )xIn1 , (b) ( ) ( )xHn
2 .
10.59. Tunjukanlah
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )...
4
1
3
1
2
11
!4
2
2
11
!2
21
42ln 2
8
2000 −
++++
+−+++−=
xxxBeixBerxxKer
πγ
PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DUTRANSFORMASIKAN KEDALAM PERSAMAAN BESSEL
10.60. Selesaikan 4xy”+4y’+y = 0. 10.61. Selesaikan (a) xy”+2y’+xy = 0, (b) y”+x2y = 0. 10.62. Selesaikanlah y”+e2xy = 0. (misalkan ex = u).
10.63. Tunjukanlah dengan pergantian langsung bahwa ( )xJy 20= adalah suatu
penyelesaian dari 0" =+xyy dan (b) tuliskanlah penyelesaian umumnya.
10.64. (a) Tunjukan dengan pergantian langsung bahwa
= 23
31 3
2xJxy adalah
suatu jawaban dari y”+xy = 0 dan (b) tuliskan penyelesaian umumnya.
10.65. (a) Tunjukanlah bahwa persamaan Bessel ( ) 022,,,2 =−++ ynxxyyx dapat
ditransformasikan kedalam 041
1 2
2
2
2
=
−−+ u
x
n
dx
ud dimana xuy = .
(b) Bahaslah kasus dimana x besar dan jelaskan hubungannya dengan rumus asimtotik dihalaman 243.
DERET TEGAK LURUS FUNGSI-FUNGSI BESSEL 10.66. Lengkapilah soal 10.23 dihalaman 253 untuk kasus (a) 0,0 =≠ SR ,
(b) 0,0 ≠= SR
10.67. Tunjukanlah ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) cxJxJnx
xJxJx
dxxxJ nnnnn +−+= ++∫ λλαλ
λλλ 12
12
22
2
10.68. Buktikanlah hasil
10.69. Tunjukanlah ( )
( ) 10.......8
1
1 13
02
<<=−
∑∞
=x
J
xJx
p pp
p
λλλ
dimana pλ adalah akar positif
dari ( ) 00 =λJ .
10.70. Tunjukanlah ( )( ) 11.......2
1 2
1 <<−= ∑∞
=x
J
xJx
p p
p
λλλ
dimana pλ adalah akar positif
dari ( ) 01 =λJ .
10.71. Tunjukanlah ( ) ( )
( ) 10.......82
1 13
12
2 <≤−
= ∑∞
=x
J
xJx
p pp
pp
λλλλ
dimana pλ adalah akar
positif dari ( ) 01 =λJ .
10.72. Gunakanlah soal 10.73 dan 10.75 untuk menunjukan 4
112 =∑pλ
dimana pλ
adalah akar positif dari ( ) 00 =λJ .
JAWABAN SOAL-SOAL TAMBAHAN
10.28. (a) ( )
−−2
2 cos3sin32
x
xxxx
xπ (b)
( )
−−2
2 cos3sin32
x
xxxx
xπ
10.29. ( ) ( )xJx
xJx
x012
2 48−
−
10.31. (a) ( ) cxJx +33 (b) ( ) ( )1312 10 JJ − (c) ( ) ( ) ( )dxxJxxJxJx ∫−+ 001
2
10.32. (a) ( ) ( ) cxJxxJx +− 30
3 231
3 36
(b) ( ) ( )
( )dxxJxj
x
xJ∫+−− 0
12
3
1
33
10.33. ( ) ( ) cxxxJxxxJ +− cossin 10
10.42. (a) 22
1
ba + (b)
22
22
bab
aba
+−+
(c) ( )
22
22
bab
aban
n
+−+
10.48. (a) xx
cos2
π− (b) x
xsin
2
π
10.50. (a) ( ) cxYx +3
3 (b) ( ) ( ) cxxYxY +−− /2 12
(c) ( ) ( ) ( ) ( )dxxYxYx
xYx
xY ∫+−−− 03221 15
1
5
1
15
1
15
1
10.63. ( ) ( )xBYxAJy 00 +=
10.64. (a) x
xBxAy
cossin += (b)
+
= −
241
24/1 2
1
2
1xBJxAJxy
10.65. ( ) ( )xx eBYeAJy 00 +=