MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

5 April 2017

Kuliah yang Lalu

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah

12.2 Turunan Parsial

12.3 Limit dan Kekontinuan

12.4 Turunan fungsi dua peubah

12.5 Turunan berarah dan gradien

12.6 Aturan Rantai

12.7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag II

12.8 Maksimum dan minimum

12.9 Metode pengali Lagrange

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 2

Kuliah Hari Ini

13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang

13.2 Integral Berulang

13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah BukanPersegi Panjang

13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar

13.5 Penggunaan Integral Lipat Dua

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 3

13.1 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGIPANJANG

MA1201 MATEMATIKA 2A

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 4

Menghitung atau menaksir integral lipat duaatas persegi panjang dengan menggunakandefinisi

Ingat: Integral Tentu untukFungsi Satu PeubahJumlah Riemann untuk f , ,

merupakan hampiran untuk luas daerahdi bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Jika

ada, maka f dikatakan terintegralkanpada [a,b]. Integral tentu f pada [a,b]didefinisikan sebagai

10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 5

n

i

iiP

xtf1

0||).(lim

b

a

dxxf )(

n

i

iiP

xtf1

0||).(lim

n

i

ii xtf1

).(

1¾ 0 1/3 ½ 7/8

Jumlah Riemann Fungsi Dua Peubah

Misalkan S = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} dan f : S R kontinu (kecuali pd suatukurva) dan terbatas. Bentuk partisi Ai, dengan panjang ∆xi dan lebar ∆yi, dandi tiap Ai pilih titik sampel (xi,yi). Makadiperoleh jumlah Riemann

yg merupakan hampiran volume ruangdi antara permukaan z = f(x,y) danpersegi panjang S.

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 6

n

i

iii Ayxf1

),(

S

Integral Lipat Fungsi Dua Peubah

Misalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisipada persegi panjang S. Jika

ada, maka f dikatakan terintegralkan pada S. Selanjutnya,

disebut integral lipat dua dari f pada S.

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 7

n

i

iiiP

Ayxf1

0||||),(lim

n

i

iiiP

S

AyxfdAyxf1

0||||),(lim:),(

Contoh

Diketahui persegi panjang S= {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}.

Taksir nilai

dengan jumlah Riemann, dengan membagi S atas 8 persegi sama besar danmemilih titik-titik tengahtiap persegi sebagai titiksampelnya.4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 8

S

dAyx

16

864 2

Jawab: Kita hitung nilai f di titik-titik sampel: f(1,1) = 57/16, f(1,3) = 65/16, f(1,5) = 81/16, f(1,7) = 105/16, f(3,1) = 41/16, f(3,3) = 49/16, f(3,5) = 65/16, f(3,7) = 89/16.

Lalu, dengan ∆Ai = 4, kita peroleh

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 9

.138)89654941105816557(16

4

),(16

864 8

1

2

i

iii

S

AyxfdAyx

Teorema Keterintegralan

Jika f kontinu (kecuali pd suatu kurva) dan terbatas pada persegi panjang S, maka f terintegralkan pada S.

Contoh: Setiap polinom dua peubah(misal f(x,y) = x2 + y2) merupakan fungsiyang terintegralkan pada sembarangpersegi panjang.

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 10

Sifat-Sifat Integral Lipat Dua

1. Linear: Jika k ϵ R, maka

a. .

b.

2. Aditif: Jika S = S1 U S2, dgn … , maka

3. Monoton: Jika f(x,y) ≤ g(x,y) utk (x,y) ϵ S, maka

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 11

SS

dAyxfkdAyxkf ),(),(

SSS

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([

21

),(),(),(SSS

dAyxfdAyxfdAyxf

.),(),( SS

dAyxgdAyxf

13.2 INTEGRAL BERULANGMA1201 MATEMATIKA 2A

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 12

Menghitung integral lipat dua (pada persegipanjang) sebagai integral berulang

Menghitung Integral Lipat Dua

Jika f terintegralkan pada persegi panjang S = [a,b] x [c,d], maka integral lipat dua dari f pada Sdapat dihitung sebagai integral berulang:

atau

Catatan: Pada cara pertama, ruang diiris sejajarsumbu-x terlebih dahulu.

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 13

d

c

b

aS

dxdyyxfdAyxf ),(),(

.),(),(

b

a

d

cS

dydxyxfdAyxf

Contoh 1

Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8],

hitung sbg integral berulang

dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu.

Jawab:

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 14

S

dAyx

16

864 2

8

0

4

0

22

1624

16

864dxdy

yxdA

yx

S

.3

2138

12

51296

412

8

0

2

dy

y

Contoh 2

Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8],

hitung sbg integral berulang

dengan mengintegralkan thd y terlebih dahulu.

Jawab:

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 15

S

dAyx

16

864 2

4

0

8

0

22

1624

16

864dydx

yxdA

yx

S

Catatan

Pengintegralan berulang:

Terhadap y dahulu, Terhadap x dahulu,

lalu terhadap x: lalu terhadap y:

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 16

S S

Soal

Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} = [0,1] x [0,1],

hitung sebagai integral berulang.

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 17

S

xydAxe

13.3 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS DAERAHBUKAN PERSEGI PANJANG

MA1201 MATEMATIKA 2A

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 18

Menghitung integral lipat dua atas daerahbukan persegi panjang

Bagaimana menghitung integral lipatpada daerah bukan persegi panjang?

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 19

S

Integral pada Daerah y-Sederhana

Himpunan S disebut y-sederhanaapabila S dapat dituliskan sebagai

S = {(x,y) : u1(x) ≤ y ≤ u2(x), a ≤ x ≤ b},

dengan u1(x) dan u2(x) kontinu. Dalam hal ini, integral f pada S dapatdihitung sebagai

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 20

b

a

xu

xuS

dydxyxfdAyxf

)(

)(

2

1

.),(),( a b

S

Integral pada Daerah x-Sederhana

Himpunan S disebut x-sederhanaapabila S dapat dituliskan sebagai

S = {(x,y) : v1(y) ≤ x ≤ v2(y), c ≤ y ≤ d},

dengan v1(y) dan v2(y) kontinu. Dalam hal ini, integral f pada Sdapat dihitung sebagai

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 21

d

c

yv

yvS

dxdyyxfdAyxf

)(

)(

2

1

.),(),(

d

c

S

Contoh 1

Hitung apabila S adalah daerah tertutup

yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 1.

Jawab:

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 22

S

xydA

Contoh 2

Hitung apabila S adalah daerah tertutup

yang dibatasi oleh garis y = 2x, garis x = 4, dansumbu-x.

Jawab:

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 23

S

x dAe2

Soal 1

Tentukan volume bendapejal yang terletak diOktan I dan dibatasi olehparaboloida z = x2 + y2, tabung x2 + y2 = 4, danbidang-bidang koordinat.

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 24

Soal 2

Hitung apabila S

adalah daerah cincin ygdibatasi oleh lingkaranx2 + y2 = 1 dan x2 + y2 = 4.

4/11/2014 (c) Hendra Gunawan 25

S

dAx2

1 20