4.2 Narma Vektor Dan Aritmatika Vektor

7/26/2019 4.2 Narma Vektor Dan Aritmatika Vektor

1/8

4.2. Norma Suatu Vektor; Aritmatika Vektor

Sifat-sifat Operasi Suatu Vektor

Teorema sifat-sifat dari vektor ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3.

Perlu dicatat bahwa ada dua pendekatan terhadap vektor, yaitu pendekatan geometrik, dimana

vektor-vektor diwakili oleh anak panah atau ruas garis terarah, dan pendekatan analitik, dimana

vektor-vektor diwakili oleh sepasang atau tiga pasang bilangan yang disebut komponen.

Persamaan persamaan pada teorema diatas dapat dibuktikan baik secara geometrik maupun

analitik.

ntuk mengilustrasikan hal tersebut, sebagai contohnya akan dibuktikan teorema pada bagian !b"

dengan dua cara yaitu dengan menggunakan pendekatan geometrik dan pendekatan analitik.

Pembuktian dengan Pendekatan Analitik

#ukti untuk vektor-vektor pada ruang berdimensi 3 dan bukti untuk ruang berdimensi 2 adalah

sama. $ika u % !u&, u2, u3", v % !v&, v2, v3" , dan w % !w&, w2, w3", maka

u ! v" ! w = [(u1, u2, u3) + (v1, v2, v3)] + (w1, w2, w3)

= (u1+ v1, u2+ v2, u3+ v3) + (w1, w2,w3)

= ([u1+ v1] + w1, [u2+ v2] + w2, [u3+ v3] + w3)

= (u1 + [v1+ w1], u2+ [v2+ w2], u3[v3+ w3])

= (u1, u2, u3) + (v1+ w1, v2 + w2, v3+ w3)

= u ! v !w"

Teorema 3.2.1

SIFAT-SIFAT ARITMATIKA VEKTOR

Jika u, v, dan wadalah vektor-vektor pada ruang berdimeni 2 atau ruang

berdimeni 3, dan k dan l adalah kalar, maka hubungan-hubungan ebagai berikut

berlaku!

(a) u + v = v + u

(b) (u + v) + w = u + (v + w)

() u + ! = ! + u = u

(") u + (-u) = !

(e) k(#u) = (kl)u($) k (u + v) = ku + kv

(%) ( k +l)u = ku + lu

(&) &u = u


2/8

u

v

(u + v )+ w

u + (v + w)u + w

u + vw

RQ

P

S

Pembuktian dengan Pendekatan #eometrik

'isalkan u, v dan w diwakili oleh PQ , QR , dan RS sebagaimana terlihat pada gambar,

maka

v ( w % QS dan u ( !v ( w" % PS

)uga, u ( v % PR dan !u ( v" ( w % PS

oleh karena itu, u ( !v ( w" % !u ( v" ( w

!*ambar &"

+engan menggunakan bagian !b" dari teorema ini, simbol u ( v ( w tidaklah membingungkan

karena diperoleh )umlah yang sama di manapun tanda kurung disisipkan. ebih lan)ut, )ika

vektor u, v dan w ditempatkan sambung-menyambung maka )umlah u ( v ( w adalah vektor

dari titik awal u ke titik akhir w. !*ambar &"


3/8

(u1,u2)

u2

u1x

y

P(u1,u2,u3)

O

Q

S

Rx

y

z

Norma Suatu Vektor

Pan)ang dari suatu vektor u seringkali disebut sebagai norma !norm" dari u dan dinyatakan

dengan u . /esuai dengan Teorema Phythagoras, maka norm dari suatu vektor u % !u&, u2"

pada ruang berdimensi 2 adalah

u=u12+u

2

2

!&"

!*ambar 2"

'isalkan u % !u&, u2, u3" adalah suatu vektor pada ruang berdimensi 3. +engan menggunakan

gambar 3 dan dua aplikasi dari Teorema Phytagoras, kita memperoleh

u2=()2+(RP)2=(OQ)2+(OS)2+(RP)2=u1

2+u2

2+u3

2

$adi,

u=u12+u

2

2+u3

2

!2"

!*ambar 3"


4/8

x

P1(x1,y1,z1)

P2(x2,y2,z2)

y

z

/uatu vektor dengan norma satu disebut vektor satuan !unit vektor".

$ika udan vadalah vektor vektor pada 02, 03dan kadalah suatu skalar sembarang maka1

&. u

2. u % )ika dan hanya )ika u%

3. k u=|k|.u

. u+vu+v

$ika P& !4&,y&, 5&" dan P2 !42, y2, 52" adalah dua titik pada ruang berdimensi 3, maka )arak

!distance" d di antara keduanya adalah norma dari vektor P1P2 !gambar c"

!*ambar "

6arena P1P2=(x2x1 , y2y1 , z2z1 )

sesuai dengan persamaan !2", maka

d=(x2x1)2+(y

2y

1)2+(z

2z

1)2

7al yang sama )ika P& !4&, y&" dan P2 !42, y2" adalah titik pada ruang berdimensi 2, maka )arak

antara titik-titik tersebut adalah

d=(x2x1)2+(y

2y

1)2


5/8


6/8

&. Tentukan norma dan )arak dari vektor u $ -3, 2, &" dan )arak d antara titik-titik P& !2,-&,-

8" dan P2 !,-3,&".

Penyelesaian 1

9orma dari vektor u % !-3, 2, &" adalah

u=(3 )2

+ (2)2

+(1 )2

9+4+1

14

$arak d antara titik-titik P& !2,-&,-8" dan P2 !,-3,&" adalah

d=(42)2+(3+1)2+(1+5)2

22+(2)2+62

4+4+36

44

211

2. Tentukan )arak antara P&!3, "dan P2!8, :

Penyelesaian 1

P1P

2= (35,47 ) (2,3 )

$arak d antara titik-titik P& dan P2 adalah

d (2)2+(3)2 4+9 13

;


7/8

3. 'isalkan u % !-3, 2, &" dan v % !2,-&, 8". 7itunglah u+v dan u +v

Penyelesaian

a. u ( v % (321)+( 21

5)=(11

6)

u+v=(1)2+12+62 1+1+36=38

b. u=(3)2+22+12 9+4+1=14

v 22+(1)2+52 4+1+25=30

/ehingga,

u ( v % 14 ( 30


8/8

/

4.2 Narma Vektor Dan Aritmatika Vektor

Documents

Transcript of 4.2 Narma Vektor Dan Aritmatika Vektor