Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri

download Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri

of 15

  • date post

    29-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    160
  • download

    27

Embed Size (px)

description

Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri

Transcript of Fungsi Kompleks Fungsi Trigonometri

  • FUNGSI TRIGONOMETRIK

    MAKALAH

    Untuk memenuhi tugas matakuliah

    Fungsi Kompleks

    yang dibina oleh Ibu Indriati Nurul Hidayah, S.Pd., M,Si

    Oleh:

    Kelompok V

    M. Sihabudin 309312422750

    Rino Kitanto 309312426745

    Rizki Imansyah Putra 309312422758

    Saniagus Munendra 309312417508

    JURUSAN MATEMATIKA

    FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

    UNIVERSITAS NEGERI MALANG

    NOPEMBER 2011

  • FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRIK

    Dengan menggunakan rumus euler

    Maka ,

    Dua persamaan berikut kita eliminasi ,

    Kurangkan, diperoleh

    Maka,

    Dengan cara serupa, diperoleh

    Kedua rumus tersebut dapat dikatakan mewakili bentuk kompleks fungsi nyata sinus dan

    cosinus. Untuk fungsi kompleks trigonometri, didefinisikan dengan mengganti (pada

    fungsi nyata trigonometri di atas) dengan , yaitu

    Definisi Fungsi Kompleks Trigonometri

    untuk semua bilangan kompleks

    Empat fungsi trigonometri yang lain didefinisikan :

    dengan syarat penyebut pada empat bentuk terakhir tidak sama dengan nol.

  • Contoh Soal

    Contoh 1 :

    Tentukan nilai .

    Jawab :

    Dengan menggunakan definisi ,

    Contoh 2 :

    Tentukan yang memenuhi .

    Jawab :

    Dengan menggunakan definisi ,

    maka diperoleh :

    misalkan , maka diperoleh

    Menggunakan rumus , diperoleh

    maka,

    Diperoleh solusinya yaitu

  • Contoh 3 (soal 10A, halaman 80, nomor 10.11.a)

    Gunakan definisi fungsi kompleks untuk menuliskan bilangan-bilangan berikut dalam

    bentuk

    a.

    Jawab :

    menurut definisi

    Ingat, identitas euler yaitu , sehingga

    Dalam bentuk yang diinginkan, maka

    Contoh 4 (soal 10A, halaman 81, nomor 10.12)

    Carilah turunan keenam fungsi trigonometrik dan nyatakan dalam suku-suku

    trigonometrik pula

    Jawab :

  • Non Contoh (contoh yang bukan merupakan fungsi kompleks trigonometri)

    Yaitu, fungsi-fungsi kompleks yang tidak memenuhi definisi fungsi kompleks trigonometri

    (selain yang didefinisikan pada definisi fungsi kompleks trigonometri)

    Misalnya, fungsi linear yaitu : , atau fungsi kompleks yang lain,

    FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK

    Definisi fungsi kompleks hiperbolik

    dan

    Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan

  • Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks Trigonometrik

    yaitu,

    Bukti :

    dan

    Penulisan dan dalam bentuk

    Misalkan,

    Dengan langkah serupa,

  • Sifat-sifat Dan Bukti Pada Fungsi Kompleks Trigonometri

    1)

    bukti :

    Karena , maka

    Karena sesuai definisi

    karena

    , maka tentu saja

    jadi,

    kedua ruas di logaritma natural kan! Diperoleh ,

    2)

    bukti :

    Karena

    , maka

  • Karena sesuai definisi

    maka

    jadi,

    kedua ruas dilogaritmanaturalkan! Diperoleh ,

    3)

    bukti :

    4)

    bukti :

    5)

    bukti :

    maka ,

  • 6)

    bukti :

    7)

    bukti :

    8)

    Bukti :

    Perhatikan

  • 9)

    Bukti :

    10)

    bukti :

    11)

    bukti :

  • Sifat-sifat yang lainnya mengenai fungsi kompleks trigonometri dan fungsi kompleks

    hiperbolik

    12) Identitas dasar Hiperbolik :

    Bukti :

    13)

    Bukti :

    14)

    Bukti :

    15) (soal nomor 10.30.a)

    Bukti:

    Perhatikan bahwa

    Maka,

    16) (soal nomor 10.30.b)

    Bukti :

    Perhatikan bahwa

    Maka,

  • 17)

    Bukti :

    18)

    Bukti :

    Bukti :

    Bukti :

    Contoh penggunaan sifat :

    Gunakan sifat sifat yang telah ada untuk menunjukkan bahwa

    sin 3z = 3 sin z (cos2 z sin2 z)

    Jawab :

    sin 3z = sin (2z + z) = (sin 2z)(cos z) + (sin z) (cos 2z)

    = (2 sin z cos z)(cos z) + (sin z)(cos2 z sin2 z)

    = 2 sin z cos2 z + sin z cos2 z sin3 z

    = 3 sin z cos2 z sin3 z

    = 3 sin z (cos2 z sin2 z)

  • PERBEDAAN FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRI DAN FUNGSI NYATA TRIGONOMETRI

    Perbedaan terbesar terletak pada batas nilainya

    Jika pada fungsi nyata trigonometri kita mengenal untuk

    (begitu juga untuk cos)

    Pada fungsi kompleks trigonometri, kita tidak mengenal hal itu (not bounded)

    Kapan fungsi kompleks trigonometri bernilai real yang besar?

    Fungsi Sinus

    Supaya bernilai real yang besar, maka harus 0, sehingga atau

    Ambil, , maka

    Supaya bernilai real yang besar, maka tentu saja harus bernilai besar

    Karena itu fungsi naik untuk , maka pilih adalah bilangan yang sangat

    besar

    akan bernilai besar

    Semakin besar , maka nilai akan semakin bernilai real yang besar

    Kapan fungsi kompleks trigonometri bernilai real yang kecil?

    Tentu saja, tinggal memilih , yaitu

    akan bernilai kecil

    Hati-hati

    Hitunglah !

    Dengan sifat yang sudah kita miliki, maka

    , karena 30 ini adalah bilangan real (bukan derajat)

    (jadi, jika menghitung dengan kalkulator, ubah deg menjadi rad)

  • Ingat , bentuk , dengan