FUNGSI TRANSENDEN

I. Pendahuluan

1.1 Pokok Bahasan

Logaritma

Fungsi Eksponen

1.2 Tujuan

Mengetahui bentuk fungsi transenden dalam kalkulus.

Mengetahui dan memahami bentuk fungsi transeden yaitu logaritma dan

fungsi eksponen serta dalam perhitungannya.

Memahami dan menerapkan bentuk fungsi transeden yaitu logaritma dan

fungsi eksponen menggunakan program Mapel.

II. Landasan Teori

A. Logaritma

Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi xaxf )( untuk 0a dan

1a mempunyai invers, yang dinamakan fungsi logaritma dengan bilangan dasar a,

dan ditulis

xxfy a log)(1

berdasarkan sifat invers )()(1 yfxxfy diperoleh definisi logaritma berikut.

1,0,log aaaxxy ya

Sesuai dengan daerah asal dan daerah eksponen, untuk xy a log berlaku kondisi

0a dan Ry . Karena grafik fungsi dan inversnya simetri terhadap garis y = x,

maka grafik fungsi logaritma diperoleh dengan mencerminkan kurva f (x) = ax

terhadap garis y = x.

a. Logaritma Natural

Logaritma natural adalah logaritma yang berbasis e, dimana e adalah

2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural terdefinisikan untuk semua

bilangan real positif x dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang

bukan 0. Aturan pangkat, tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya adalah

1/x. Tetapi, dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kitadapat mendefinisikan

fungsi melalui integral yang turunannya adalah 1/x.Fungsi ini kita sebut logaritma

natural dari x, ditulis ln x. Dapat dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini,

bahwa fungsi ini sama dengan fungsi logaritma berbasis e yang telah kita kenal di

SMA. Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai :

0,1

ln1

xdtt

x

x

xx e logln

Notasi

Ahli matematika biasanya menggunakan "ln(x)" atau "log(x)" untuk

menotasikan loge(x), atau logaritma natural dari x, dan menggunakan "log10(x)"

untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.

Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya menggunakan

"ln(x)" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas) "loge(x)" untuk

menotasikan logaritma natural dari x, dan "log(x)" digunakan untuk logaritma

berbasis 10, log10(x) atau, dalam konteks teknik komputer, log2(x).

Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC, "log"

atau "LOG" berarti logaritma natural.

Pada kalkulator, tombol ln berarti logaritma natural, sedangkan tombol log

adalah untuk logaritma berbasis 10.

Sifat-sifat logaritma natural

Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dari ln5x sama dengan

turunan dari lnx yaitu 1/x. Fakta ini berguna untuk membuktikan teorema berikut.

Teorema

Jika a dan 0b dan r bilangan rasional, maka

01ln

baab lnlnln

bab

alnlnln

ara r lnln

B. Ln sebagai invers fungsi eksponensial natural

Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial:

xe x )ln( untuk semua x yang positif dan

xe x ln untuk semua x yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya e,

dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel tidak diketahuinya

merupakan pangkat dari variabel lain.

c. Mengapa disebut "natural"

Sekilas, tampaknya yang lebih "natural" tentunya adalah logaritma yang

berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10. Namun, ada dua

alasan mengapa ln(x) disebut logaritma natural: pertama, persamaan-persamaan yang

variable tak diketahuinya merupakan pangkat dari e jauh lebih sering dijumpai

dibanding yang merupakan pangkat dari 10 (karena sifat-sifat "natural" dari fungsi

eksponensial yang dapat menggambarkan growth/pertumbuhan dan

decay/penurunan), dan kedua, karena logaritma natural dapat didefinisikan dengan

mudah menggunakan integral yang dasar atau Deret Taylor (lihat penjelasan di

bawah), dan logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.

Sebagai contoh, lihat turunan dibawah ini:

bx

xdx

db

ln

1log

Jika basis b adalah e maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1, kemiringan

kurva adalah 1.

d. Logaritma Umum

Sifat-sifat logaritma :

1. 01log b

2. 1log bb

3. caac bbb logloglog

4. cac

a bbb logloglog

5. ara brb loglog

6.b

aa

c

cb

log

loglog

e. Turunan logaritma natural

Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita peroleh bahwa

0,1

ln1

1

xx

xdx

ddt

tdx

dx

Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita peroleh bahwa:

xudx

d

xuxu

dx

d 1ln

B. Eksponen

a. Fungsi Eksponensial Natural

Fungsi eksponensial natural, y=exp(x), adalah inverse dari logaritma

natural.x=exp(y) y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1) sehingga ln

e=1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah e≈2,71828182845…

Dengan demikian,

11

1

dtt

e

Dari definisi langsung diperoleh bahwa

1. exp(ln x)=x, bila x>0.

2. ln(exp(x)) =x.

Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikan oleh Euler),

yaitu tidak ada polinom p(x) sehingga p(e)=0. Kita dapat mengkonfirmasikan (saat ini

untuk bilangan rasional r), bahwa y=exp(x) adalah sebuah fungsi eksponesial.

er=exp(ln er)= exp(rln e)= exp(r) Sejauh ini kita telah mendefinisikan bilangan

pangkat dengan pangkat rasional. Untuk x irrasional, kita kembali pada definisi

fungsi eksponesial, yaitu

xe x exp

Jadi, untuk selanjutnya.

1. xe x ln , untuk x>0.

2. xe x ln , untuk tiap x.

b. Turunan dari exp(x)

Misalkan y=ex. Karena ln x dan exp(x) saling inverse, maka x=ln y. Apabila

kedua sisi didiferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai, diperoleh bahwa

1=(1/y)Dxy atau Dxy =y .

Teorema

xx eedx

d

Sebagai akibat kita peroleh

Teorema

Cedxe xx

c. Fungsi Logaritma dan Eksponesial Umum

Kita telah berhasil mendefinisikan xe untuk tiap bilangan real x, termasuk e .

Namun bagaimana dengan e ? Kita akan memanfaatkan hubungan x=exp(ln x).

Definisi

Jika 0a dan adalah sebarang bilangan real, maka

axx ea ln

Dengan demikian, kita peroleh bahwa

axea axx lnlnln ln

Catatan: definisi di atas memungkin kita untuk memperluas aturan

area arr lnlnln ln yang sebelumnya hanya berlakuuntuk r rasional.

d. Sifat-sifat xa

Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan ,0,0 ba dan yx, sebarang bilangan

real.

1. yxyx aaa

2. xyyx aa

3. x

xx

b

a

b

a

4. yx

y

x

aa

a

5. xxxbaab

Teorema fungsi eksponensial

aaaD xx

x ln

0,ln

1 aC

adxa

x

x

e. Fungsi xalog

Pada bagian ini kita akan membangun fungsi logaritma berbasis bilangan

positif a≠1, logax. Fungsi ini didefinisikan sebagai inverse dari fungsi eksponensial

xa .

Definisi

Misalkan 1,0 aa , maka y

a axxy log

Catatan: xalogln Hubungannya dengan logaritma biasa dapat diperoleh secara

berikut. Misalkan xy alog sehingga yax .

ayax y lnlnln sehingga x

axa

ln

lnlog

Penerapan dalama maple

Logaritma

Eksponen

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. Fungsi Invers. http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor

Pendamping/Praweda/Matematika/0375%20Mat%201-4e.htm

Anonim. Matriks. http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika)

Anonim. Invers dan Matriks. http://grid.ui.ac.id/files/manual-portal/node10.html

Anonim. Mencari Fungsi Invers dan Matriks dengan Maple.

http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0011.pdf

Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam;

Penerbit Interaksara.