(KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
Transcript of (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
1/18
TAJUK 1: KEBARANGKALIAN
1.1 PERISTIWA BERGABUNG (COMPOUND EVENT)
Satu peristiwa bergabung mengandungi dua atau lebih peristiwa ringkas. Melambungkan
satu dadu adalah satu peristiwa ringkas Melambungkan dua dadu ialah peristiwa
bergabung. Kebarangkalian peristiwa bergabung yang boleh dikira jika kesudahannya
adalah sama.
Jika A dan B ialah dua perisitiwa daripada suatu eksperimen dengan keadaan P(A) ≠
dan P(B) ≠ ! maka
P ( A∪B )= P ( A )+ P (B )− P( A ∩ B)
"engan A∪B ialah peristiwa A berlaku atau B berlaku atau kedua#dua A dan B berlaku
manakala A ∩ B ialah peristiwa kedua#dua A dan B berlaku.
Keputusan di atas boleh diterangkan dengan gambar rajah $enn. Andaikan A dan B ialah
dua peristiwa daripada ruang sampel S dan n(A) % a! n(B) %b! n(S) % n dan n ( A∩B) % d.
&ontoh '
P(A ∪ B) %n( A∪B)n(S)
%(a−d )+d+(b−d )
n
%a+b−d
n
%a
n b
n #d
n
% P(A) P(B) P ( A∩B)
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
2/18
Maka P(A ∪ B) % P(A) P(B) P ( A ∩ B)
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
3/18
(a) Peristiwa tak Bersandar (Independent events)
- "ua (atau lebih) peristiwa dikatakan tak bersandar jika kejadian satu tidak
menjejaskan kejadian yang lain.- "ua peristiwa A dan B dikatakan tak bersandar antara satu sama lain jika dan
hanya jika kejadian A tidak menjejaskan kejadian B dan sebaliknya.- &ontoh' Sebuah pesawat mempunyai banyak kawalan supaya jika satu kawalan
gagal ber*ungsi! yang lain masih lagi ber*ungsi.
"ua peristiwa A dan B adalah tak bersandar jika dan hanya jika
P(A n B) % P(A) P(B)
"e*inisi di atas boleh juga ditulis dalam bentuk
P ( A |B ) % P(A)
dengan menggunakan de*inisi kebarangkalian bersyarat.
Perhatikan bahawa persamaan di atas adalah menunjukkan peristiwa A tak bensandar
kepada peristiwa lain B jika kebarangkalian berlakunya tidak bergantung kepada sama ada
berlaku atau tidaknya peristiwa B. Juga kita dapat perhatikan dengan menggunakan
hubungan
P(A n B) % P(B) P ( A |B ) % P(A) P(B)
P(B) P ( A|B ) % P(A) P(B)
bererti P(B) % P ( A |B )
bahawa jika A tak bersandar kepada B! maka B juga tak bersandar kepada A.
(b) Peristiwa a!in" Eksk!#si$ (%#t#a!!& e'!#sive Events)
Jika peristiwa A boleh berlaku atau peristiwa B boleh berlaku tetapi peristiwa A dan B tidak
boleh berlaku bersama! maka dua peristiwa itu dikatakan peristiwa saling eksklusi*! maka
jika A berlaku! B tidak boleh berlaku dan jika B berlaku! A tidak mungkin berlaku.
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
4/18
Peristiwa saling bereksklusi* memberi gambaran bahawa jika A dan B adalah dua set!
silangan set ini ialah set nul+ iaitu A ∩ B=¿ . Atau dengan kata lain set A dan B adalah tak
ber,antum.
Keputusan di atas dikenali sebagai hukum ,ampuran bagi peristiwa#peristiwa saling
eksklusi*.
Contoh :
-ima orang graduan yang sama kebolehannya memohon satu jawatan yang diiklankan.
anya seorang pemohon akan berjaaya. Pemohon#pemohon adalah Ali! Bakri! &handran!
"a/id dan 0ng Kok. &ari kebarangkalian bahawa '
(a) Bakri akan Berjaya(b) Bakri atau "a/id akan Berjaya
Penyelesaian
Setiap pemohon mempunyai peluang yang sama untuk berjaya dan semua pilihan adalah
saling eksklusi* kerana hanya seorang pemohon sahaja akan dipilih.
S % Ali , Bakri , Chandran, David dan Eng Kok } ! n(S) % 1
Jadi! P(Bakri) %
1
5 % .2
P(Bakri atau "a/id) % (Bakri 3 "a/id) % P(Bakri) P("a/id)
%1
5 1
5
%2
5
B a g i p e r i s t i w a s a l i n g e k s k l u s i * A d a n B ! ! d a n d a n
B a g i n p e r i s t i w a e k s k l u s i * d a l a m r u a n g s a m p l e S !
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
5/18
• Melibatkan Dua Peristiwa
Mana#mana dua peristiwa yang ditakri*kan dari ruang sampel yang sama dikatakan saling
eksklusi* jika kedua#dua mereka tidak boleh berlaku pada masa yang sama. 4ni bermakna
bahawa set algebra mereka tidak bertindih! atau pertindihan mereka adalah set si*ar.
&ontoh'
Katakan S ialah ruang sampel melambungkan sebiji dadu sekali. 5akri*kan peristiwa berikut
daripada ruang sampel ini.
6uang sampel S % 78! 2! 9! :! 1! ;
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
6/18
3ntuk penjelasan lanjutan! gambar rajah $enn dalam 6ajah 8 di bawah juga
membolehkan kita dapat melihat hubungan antara mereka.
6ajah 8' >ambarajah $enn A! B! ....! bagi peristiwa yang dinyatakan
"alam ,ontoh di atas! A dan B adalah peristiwa saling eksklusi*! begitu juga
peristiwa & dan ".
• Melibatkan Tiga Peristiwa
5iga peristiwa P! ? dan 6 dikatakan saling eksklusi* jika dan hanya jika tiga pasangan P dan
?! P dan 6! ? dan 6 adalah semua saling eksklusi*. Merujuk kepada ruang sampel
melambung sebiji dadu! katakan P % 78! 9
% ? @ 6 % ∅! set kosong. leh itu peristiwa P! ? dan 6 ialah tiga peristiwa saling eksklusi*.
() #b#n"an antara sa!in" eksk!#si$ dan tak bersandar
Jika A dan B adalah saling eksklusi*! P(A) ≠ dan P(B) ≠ ! maka P( A ∩ B ¿ % .
5etapi P ( A|B ) % P ( A|B ) P(B) ! maka
P
( A|B ) % apabila A!B saling eksklusi*
Jadi P ( A |B )≠ P( A ) .
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
7/18
S
A B
S
A B
4ni bermakna bahawa jika peristiwa A dan B saling eksklusi*! maka A dan B tidak merdeka.
1.2 HUKUM PENAMBAHAN DAN PENDARABAN
(a) #k#* Pena*ba+an , Kebaran"ka!ian peristiwa ber"ab#n"
Jika diberi dua peristiwa A dan B! kita boleh mentakri*kan dua jenis gabungan asas tentang
kedua#dua peristiwa itu! iaitu gabungan ‘dan’ dan gabungan ‘atau’ . >abungan A dan BC
bererti kedua#dua peristiwa A dan B berlaku. >abungan A atau BC bererti peristiwa A
berlaku! atau peistiwa B berlaku! atau kedua#dua peristiwa A dan B berlaku.
Misalnya! jika A ialah peristiwa menjadi johan dalam perbahasan dan B ialah peristiwa
menjadi pembahas terbaik! maka A dan BC bererti peristiwa menjadi johan dan menjadi
pembahas terbaik. Manakala A atau BC bererti peristiwa menjadi johan sahaja! atau
peristiwa menjadi pembahas terbaik sahaja! atau kedua#duanya.
Peristiwa A dan BC dan peristiwa A atau BC masing#masing dikenal sebagai peristiwabergabung. "alam bentuk set! peristiwa A dan BC adalah sama dengan A @ B manakala
peristiwa A atau BC adalah sama dengan A 3 B.
Persilangan dua peristiwa A dan B! Kesatuan dua peristiwa A dan B!
iaitu A @ B. iaitu A 3 B.
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
8/18
A B
B#kan a!in" Eksk!#si$ (N-n.%#t#a!!& E'!#sive)
P(A) ialah kebarangkalian peristiwa A dan P(B) ialah kebarangkalian peristiwa B.
Memandangkan persilangan mereka bukan si*ar! maka mereka bukan saling
eksklusi*.
5iga peristiwa A! B! C .
P ( A∪B∪C )= P ( A )+ P (B )+ P (C )− P ( A∩B )− P (B∩C )− P ( A ∩C )+ P( A∩B∩C )
/-nt-+ 1:
Satu kad diambil dari daun terup. &ari kebarangkalian bahawa mendapat ja,k atau
diamond.
Pen&e!esaian:
P
(Ja,k atau diamond) % P
(ja,k) P
(diamond)# P
(Ja,k dan diamond)
%
52
4
52
13
#
52
1
%52
16
%26
8
%13
4
/-nt-+ 0:
Jika dua perisitwa A dan B bukan saling eksklusif,
maka A B dan kebarangkalian perisitwa A
atau peristiwa B berlaku ialah
P (A B) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
9/18
Perstiwa A dan B adalah berkeadaan bahawa P(A) %17
25 ! P(B) %1
5 ! dan P(A 3 B) %
3
5 . &ari
a. P(A @ B)!b. P(A @ BC ).
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
10/18
SA B
A ∩ B’ A ∩ B
Pen&e!esaian:
a. P(A 3 B) % P(A) P(B) P(A @ B)
3
5=17
25+1
5− P( A∩B)
P(A @ B) %17
25+1
5−3
5
%7
25 .
leh itu! P(A @ B) %7
25 .
b. Peristiwa A @ BC dilorekkan dalam gambar rajah $enn di bawah.
"aripada gambar rajah!
n(A) % n(A @ BC ) n(A @ B)
n( A)n(S)
=n ( A ∩B ' )n(S)
+n( A∩B)n(S )
P(A) % P(A @ BC ) P(A @ B)
P(A @ BC ) % P(A) P(A @ B)
%17
25− 7
25
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
11/18
A B
%10
25
%2
5
leh itu! P(A @ BC ) %2
5 .
• a!in" Eksk!#si$ (%#t#a!!& E'!#sive)
- P(A) bermaksud kebarangkalian bagi peristiwa A dan P(B) bermaksud
kebarangkalian bagi peristiwa B. 5idak terdapat persilangan dan P(A dan B)
ialah si*ar.- Peristiwa saling eksklusi* ialah peristiwa#peristiwa yang tidak boleh berlaku
se,ara serentak! tetapi hanya satu peristiwa yang boleh berlaku pada suatu
ketika.
&ontoh#,ontoh peristiwa saling eksklusi*'
i. "alam suatu perlawanan ping pong! Johari dan Seng Keong bertanding untukmenjadi johan. Jika A ialah peristiwa Johari menjadi johan dan B ialah
peristiwa Seng Keong menjadi johan! maka A dan B ialah peristiwa#peristiwa
saling eksklusi* kerana kedua#dua peserta itu tidak boleh menjadi johan
se,ara serentak.
ii. Sekeping kad dipilih daripada 1 keping kad yang masing#masing ditulis
dengan huru*#huru* R, A, J, , !" Jika # ialah peristiwa huru* konsonan terpilih
dan $ ialah peristiwa huru* /okal terpilih! maka # dan $ ialah peristiwa#
peristiwa saling eksklusi* kerana kepingan kad yang terpilih itu tidak bolehmengandungi kedua#dua si*at konsonan dan /okal se,ara serentak.
Jika peristiwa A dan B saling eksklusif, maka A B
dan kebarangkalian peristiwa A atau peristiwa B berlaku
ialah
P (A B) = P ( A ) + P ( B )
Hubungan ini juga dikenali sebagai hukum
hasil tamabh bagi dua peristiwa saling
eksklusif
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
12/18
Se,ara amnya! jika A8! A2! A9! ...! An ialah peristiwa#peristiwa saling eksklusi* dalam ruang
sampel %! maka
P( A8 ∪ A2 ∪ A9 ... ∪ An) % P( A8) P( A2) P( A9) ... P( An)
&ontoh'
Sebuah beg mengandungi 2 bola merah! 9 bola biru! dan : bola putih. Sebiji bola dipilih
daripada begse,ara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa bola yang terpilih itu bola biru
atau bola merahD
Penyelesaian'
Katakan A % peristiwa bola biru terpilih
B % peristiwa bola merah terpilih
Memandangkan peristiwa A dan B tidak mungkin berlaku serentak (saling eksklusi*)! maka
P(A B) % P(A) P(B)
%!
2
!
3+
%!
5
(b) #k#* Pendaraban , Peristiwa Tak Bersandar
• Apabila dua peristiwa A dan B adalah tak bersandar E merdeka E bebas!kebarangkalian bahawa kedua#dua peristiwa berlaku boleh didapati menggunakan
keputusan berikut.
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
13/18
P(A @ B) % P(A) × P(B) atau P(A @ B) % P(A) P(B)
• "ua peristiwa A dan B adalah merdeka jika kebarangkalian A berlaku tidak
bergantung kepada B berlaku atau tidak berlaku dan sebaliknya.• Se,ara amnya! jika A8! A2! A9! ...! An ialah peristiwa#peristiwa tak bersandaran! maka
P( A8 ∩ A2 ∩ A9 ... ∩ An) % P( A8) × P( A2) × P( A9) × ... × P( An)
&ontoh'
Jika terdapat : manik merah dan ; manik biru di dalam sebuah bekas. Semua manik
bersaiF sama dan dibuat daripada bahan yang sama. Pertama saya memilih 8 manik dari 8manik! dan kemudian memilih 8 manik dari baki sembilan manik. Apakah kebarangkalian
bahawa mendapat manik merah duluD Apakah kebarangkalian bahawa mendapat manik
merah pada pemilihan keduaD
Apabila saya mengeluarkan manik pertama! terdapat 8 manik di dalam bekas iaitu :
berwarna merah! jadi kebarangkalian mendapat satu manik merah. Jadik kebarangkalian
mendapat manik pertama merah ialah1
2 atau
1"
4
Apabila sudah memilih satu manik! maka saiF ruang sampel telah berubah iaitu hanya
mempunyai baki G manik! 9 manik daripadanya ialah merah. Jadi kebarangkalian mendapat
satu manik merah ialah9
8 atau
!
3
.
5etapi jika kita ingin tahu kebarangkalian bahawa saya mendapat 8 manik merah dan anda
juga juga mendapat 8 manik merah. 4ni kelihatan seperti soalan yang sama! tetapi ia tidak
sama kerana ianya adalah lebih daripada satu peristiwa. Berikut merupakan kemungkinan
yang membentuk ruang sampel
A. Saya mendapat manik biru dan anda mendapat manik biru
B. Saya mendapat manik biru dan anda mendapat manik merah
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
14/18
&. Saya mendapat manik merah dan anda mendapat manik biru
". Saya mendapat manik merah dan anda mendapat manik merah
4ni adalah empat kemungkinan tetapi mereka tidak mungkin sama. Apabila kita mempunyai
peristiwa yang terdiri daripada dua peristiwa berasingan dan kesudahan peristiwa kedua
adalah bergantung kepada peristiwa pertama! maka kita darab dua kebarangkalian ini untuk
mendapatkan jawapan.
Merujuk kepada pengiraan di atas! maka kebarangkalian kedua#dua kita mendapat manik
merah ialah15
2
3
1
5
2=×
&ontoh
Apakah kebarangkalian mendapat satu pasangan ; apabila sebiji dadu dilambungkan dua
kaliD
Penyelesaian'
Katakan A % peristiwa mendapat ; pada lambungan pertama
B % peristiwa mendapat ; pada lambungan kedua
Maka P (A) %6
1
dan P (B) %6
1
P (mendapat pasangan ; dari dua lambungan) % (A B)
% P (A) × P (B)
%6
1
× 6
1
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
15/18
%36
1
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
16/18
1.3 GAMBAR RAJAH POKOK
>ambar rajah pokok adalah suatu susunan garis yang mewakili kesudahan yang mungkin.
Setiap ,abang pokok tersebut ditanda untuk menunjukkan kesudahan yang diwakili. Setiap
,abang juga dituliskan kebarangkalian kesudahan itu berlaku. Jadi! semua ,abang yang
bermula daripada suatu titik mestilah (a) peristiwa#peristiwa saling eksklusi* dan (b) peristiwa
habisan iaitu jumlah kebarangkalian semua peristiwa adalah 8. Berikut adalah beberapa
,ontoh kegunaan gambar rajah pokok '
&ontoh 8'
Sekeping duit syiling yang berat sebelah mempunyai kebarangkalian gambar dan angka
seperti berikut '
P(gambar) %1
3 dan P(angka) %2
3 .
"uit syiling ini dilambungkan 9 kali berturut#turut.
(a) Senaraikan semua kesudahan yang mungkin dengan gambar rajah pokok.(b) &ari kebarangkalian mendapat
(i) 9 gambar (ii) 2 gambar dan 8 angka(iii) 5idak ada gambar
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
17/18
(a) P(> ∩G∩G¿ % P(>>>)
%1
3 H1
3 H1
3
%1
27
(b) P(2 gambar dan 8 angka) % P(>>A) P(>A>) P(A>>)
%1
3 H1
3 H2
3+¿
1
3 H2
3 H1
3+¿
2
3 H
1
3 H1
3
%2
27 2
27 2
27
%2
9
(,) P(5idak ada gambar) % P(AAA)
%2
3 H2
3 H2
3
%2
9
1.4 KEBARANGKALIAN BERSYARAT
• Kebarangkalian kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa kadang#kadang
bergantung kepada berlakunya satu atau lebih peristiwa lain.• Misalnya A! adalah peristiwa diserang penyakit jantung dan B adalah! peristiwa
menghisap rokok. Seperti yang telah diketahui umum! mereka yang menghisap
rokok lebih besar kemungkinannya untuk diserang penyakit jantung berbanding
dengan yang tidak menghisap rokok. Jadi jelaslah di sini bahawa peristiwa A dan B
berkait. 4ni bermakna jika B telah berlaku! ia akan memberi maklumat tambahan
kepada berlakunya peristiwa A.
-
8/17/2019 (KKP) Nota Tajuk 1 MTE 3053 Statistik
18/18
• 4ni mengimplikasikan bahawa kebarangkalian berlakunya peristiwa A setelah
diketahui B! akan lebih besar daripada kebarangkalian A itu sendiri. Se,ara
simbolnya ia boleh ditulis! P(AIB) P(A). Perbin,angan inilah yang disebut
kebarangkalian bersyarat'
Katakan A dan B adalah 2 peristiwa dengan P(A) ≠ ! P(B) ≠ ! maka kebarangkalian
berlakunya A setelah diberi dengan syarat B telah berlaku ditandakan dengan
Jika dalam satu per,ubaan! peristiwa#peristiwa A dan B boleh berlaku! maka
P(A ∩ B) % P(A) P(BIA).
Seterusnya! bolehlah dirumuskan bahawa '
P(AIB) %P(B)
B)P(A ∩
P(A∩ B) % P(BIA) P(A) % P(AIB) P(B)