OPERASI BENTUK ALJABAR

A. Sejarah Aljabar

Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari Babilonia Kuno yang

mengembangkan system matematika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka

mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan

menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan

menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang

biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier, persamaan

Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir dan

kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam melenium pertama belum

masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan

persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam “The Rhind

Mathematical Papyrus”, “Sulba Sutras”, “Eucilid’s Elements” dan “The Nine

Chapters on the Mathematical Art”. Hasil bangsa Yunani dalam Geometri, yang

tertulis dalam kitab elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk

menggeneralisasi formula metematika di luar solusi khusus dari suatu

permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan

memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.

Istilah “aljabar” berasal dari kata Arab “al-jabr” yang berasal dari kitab “Al-

Kitab aj-jabr wa al-Muqabala” (yang berarti “The Compendious Book on

Calculation by Completion and Balancing”) Yang ditulis oleh matematikawan

Persia Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi. Kata “Al-Jabr” sendiri sebenarnya

berarti penggabungan (reunion). Matematikawan Yunani di zaman Hllenisme,

Diophantus, secara tradisional dikenal sebagai “Bapak Aljabr”, walaupun sampai

sekarang masih diperdebatkan, tetapi ilmuwan yang bernama R Rashed dan

Angela Armstrong dalam karyanya bertajuk The Development of Arabic

[1]

Mathematics, menegaskan bahwa Aljabar karya Al-Khawarizmi memiliki

perbedaan yang signifikan dibanding karya Diophantus, yang kerap disebut-sebut

sebagai penemu Aljabar. Dalam pandangan ilmuwan itu, karya Khawarizmi jauh

lebih baik di banding karya Diophantus. Al-Khawarizmi yang pertama kali

memperkenalkan aljabar dalam suatu bentuk dasar yang dapat diterapkan dalam

kehidupan sehari-hari. Sedangkan konsep aljabar Diophantus lebih cenderung

menggunakan aljabar sebagai alat bantu untuk aplikasi teori bilangan.

Para sajarawan meyakini bahwa karya al-Khawarizmi merupakan buku

pertama dalam sejarah di mana istilah aljabar muncul dalam konteks disiplin

ilmu. Kondisi ini dipertegas dalam pembukuan, formulasi dan kosakata yang

secara teknis merupakan suatu kosakata baru. Ilmu pengetahuan aljabar sendiri

sebenarnya merupakan penyempurnaan terhadap pengetahuan yang telah dicapai

oleh bangsa Mesir dan Babylonia. Kedua bangsa tersebut telah memiliki catatan-

catatan yang berhubungan dengan masalah aritmatika, aljabar dan geometri pada

permulaan 2000 SM. Dalam buku Arithmetica of Diophantus terdapat beberapa

catatan tentang persamaan kuadrat. Meskipun demikian persamaan yang ada

belum terbentuk secara sistematis, tetapi terbentuk secara tidak sengaja melalui

penyempurnaan kasus-kasus yang muncul. Karena itu, sebelum masa Al-

Khawarizmi, aljabar belum merupakan suatu objek yang secara serius dan

sistematis dipelajari. Muḥammad bin Mūsā Al-Khawārizmī adalah seorang ahli

matematika, astronomi, astrologi, dan geografi yang berasal dari Persia. Lahir

sekitar tahun 780 di Khwārizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar

tahun 850. Hampir sepanjang hidupnya, ia bekerja sebagai dosen di Sekolah

Kehormatan di Baghdad. Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama yang

membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Sehingga ia disebut

sebagai Bapak Aljabar. Translasi bahasa Latin dari Aritmatika beliau, yang

memperkenalkan angka India, kemudian diperkenalkan sebagai Sistem

Penomoran Posisi Desimal di dunia Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan

[2]

menyesuaikan Geografi Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang

astronomi dan astrologi. Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada

matematika, tapi juga dalam kebahasaan. Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr,

satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat,

yang tercantum dalam buku beliau. Kata logarisme dan logaritma diambil dari

kata Algorismi, Latinisasi dari nama beliau. Nama beliau juga di serap dalam

bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo yang berarti

digit.

B. Tokoh-tokoh Dalam Mengembangkan Aljabar

a. Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi, Ia adalah yang pertama kali yang

mencetus Al-Jabar dalam bukunya dengan judul “Al-kitab al-jabr wa-l-

Muqabala” kitab ini merupakan karya yang sangat monumental pada abad

ke-9 M. ia merupakan seorang ahli matematika dari Persia yang

dilahirkan pada tahun 194 H/780 M, tepatnya di Khawarizm, Uzbeikistan.

b. Al-Qalasadi dalam mengembangkan matematika sungguh sangat tak

ternilai. Ia sang matematikus Muslim di abad ke-15, kalau tanpa dia boleh

jadi dunia dunia tak mengenal simbol-simbol ilmu hitung. Sejarang

mencatat, al Qalasadi merupakan salah seorang matematikus Muslim

yang berjasa memperkenalkan simbol-simbol Aljabar. Symbol-simbol

tersebut pertama kali dikembangkan pada abad 14 oleh Ibnu al-Banna

kemudian pada abad 15 dikembangkan oleh al-Qalasadi, al-Qalasadi

memperkenalkan symbol-simbol matematika dengan menggunakan

karakter dari alphabet Arab. Ia menggunakan wa yang berarti “dan” untuk

penambahan (+), untuk pngurangan (-), al-Qalasadi menggunakan illa

berarti “kurang”. Sedangkan untuk perkalian (x), ia menggunakan fi yang

berarti “kali”. Simbol ala yang berarti ”bagi” digunakan untuk pembegian

(/).

[3]

c. Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1 Desember 1792 – 24 Februari 1856)

adalah matematikawan Rusia. Ia terutama dikenal sebagai orang yang

mengembangkan geometri non-Euclides (independen dari hasil karya

János Bolyai) yang diumumkannya pada 23 Februari 1826, serta metode

hampiran akar persamaan aljabar yang dikenal dengan nama Metode

Dandelin-Gräffe

d. Sharaf al-Dīn al-Muẓaffar ibn Muḥammad ibn al-Muẓaffar al-Ṭūsī (1135-

1213) adalah matematikawan dan astronom Islam dari Persia. Sharif al-

Din mengajar berbagai topik matematika, astronomi dan yang terkait,

seperti bilangan, tabel astronomi, dan astrologi. Al-Tusi menulis beberapa

makalah tentang aljabar. Dia memberikan metode yang kemudian

dinamakan sebagai metode Ruffini-Horner untuk menghampiri akar

persamaan kubik. Meskipun sebelumnya metode ini telah digunakan oleh

para matematikawan Arab untuk menemukan hampiran akar ke-n dari

sebuah bilangan bulat, al-Tusi adalah yang pertama kali yang menerapkan

metode ini untuk memecahkan persamaan umum jenis ini. Dalam Al-

Mu’adalat (Tentang Persamaan), al-Tusi menemukan solusi aljabar dan

numerik dari persamaan kubik dan yang pertama kali menemukan

turunan polinomial kubik, hasil yang penting dalam kalkulus diferensial

e. Omar Khayyam, ilmuwan yang berasal dari Persia ini membangun

Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari

persamaan kubik.

f. Kowa Seki ilmuwan yang berasal dari Jepang pada abad 17, ia

mengambangkan tentang determinan.

g. Robert Recorde adalah seorang yang memperkenalkan tanda “=” yang

terdapat dalam bukunya yang berjudul “The Whetstone of Witte” pada

tahun 1557.

[4]

C. Pengertian Bentuk Aljabar

Aljabar adalah satu cabang penting dalam matematika. Kata aljabar

berasal dari kata al-jabr yang diambil dari buku karangan Muhammad ibn Musa

Al-Khowarizmi (780-850 M), yaitu kitab al-jabr wa al-muqabalah yang

membahas tentang cara menyelesaiakan persamaan persamaan aljabar.

Bentuk Aljabar merupakan bentuk operasi atau pengerjaan hitung yang

terdiri dari satu atau beberapa suku yang melibatkan peubah atau variabel.

Unsur-unsur bentuk aljabar :

Variabel (Peubah) : lambang pada bentuk aljabar yang dinyatakan dengan

huruf kecil a, b, c, …, z. atau dapat disebut juga dengan lambang pengganti

suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas.

Contoh: 5x + 3y + 8x – 6y + 9, huruf x dan y disebut variabel

Koefisien : lambang (bilangan) yang memuat suatu variable

Contoh: 5x + 3y + 8x – 6y + 9, Koefisien x adalah 5 dan 8.

Konstanta : bilangan yang tidak memuat suatu variabel

Contoh: 5x + 3y + 8x – 6y + 9, Suku 9 merupakan konstanta

Faktor : bagian dari suatu hasil kali

Contoh: 5x = 5. x , maka faktor perkalian dari 5x adalah 5 dan x

-6y = -6 . y , maka -6 dan y disebut faktor perkalian

Suku : bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi hitung. Suku

memiliki dua jenis, yaitu suku sejenis dan suku tak sejenis.

D. Suku Pada Bentuk Aljabar

Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk

aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

1) Suku Tunggal dan Suku Banyak

a. Suku satu atau suku tunggal adalah bentuk aljabar yang tidak

dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

[5]

Contoh: 2x, -3x2y, 4y, 5xy

b. Suku dua atau binom adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu

operasi jumlah atau selisih.

Contoh: 2x + 6, 4p2 + 3p, 4x + 7y, x + 2y

c. Suku tiga atau trinom adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua

operasi jumlah atau selisih.

Contoh : 2x2 + 5xy + 6y, a2 + 4a2 +11, 3p2 – p + 3

d. Suku banyak atau polinom adalah bentuk aljabar yang mempunyai lebih

dari tiga suku.

Contoh : x2 + 3x2y – 6x + 4y + 3y2

2) Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis

a. Suku Sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari

masing-masing variabel yang sama.

Contoh:

Suku sejenis pada 5x + 3y + 8x – 6y + 9, adalah

1. 5x dan 8x

2. 3y dan -6y

b. Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari

masing-masing variabel yang tidak sama.

Contoh:

Suku tak sejenis pada 5x + 3y + 8x – 6y + 9, adalah

1. 5x dan 3y

2. 5x dan -6y

E. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar

1) Penjumlahan dan Pengurangan

Operasi hitung penjumlahan dan pengurangan suku aljabar dilakukan

dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan koefisien antara suku-suku

yang sejenis.

[6]

Suku Sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari

masing-masing variabel yang sama.

Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku

pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada

bentuk-bentuk aljabar, sebagai berikut.

a.    Sifat Komutatif

a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil

b.    Sifat Asosiatif

(a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil

c.    Sifat Distributif

a(b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil

Contoh :

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut ini!

1. 4x + y – x

2. 6a2b – 5ab - 4a2b

Penyelesaian:

1. 4x + y – x = 4x - x + y = 3x + y

2. 6a2b – 5ab - 4a2b = 6a2b - 4a2b - 5ab = 2a2b - 5ab

2) Perkalian dan Pembagian

Pada bentuk-bentuk aljabar berlaku sifat-sifat penjumlahan dan

perkalian seperti pada bilangan bulat. Beberapa sifat tersebut antara lain:

Sifat komutatif penjumlahan, yaitu a + b = b + a

Sifat asosiatif penjumlahan, yaitu a + (b + c) = (a + b) + c

Sifat komutatif perkalian, yaitu a × b = b × a

[7]

Sifat asosiatif perkalian, yaitu a × (b × c) = (a × b) × c

Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu:

a ± (b + c) = (a × b) ± (a × c)

Pada bahasan ini akan dipelajari mengenai perkalian suku satu dengan

suku dua atau dengan suku banyak dan perkalian antara suku dua dengan

suku dua.

a) Perkalian

Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua atau dengan Suku Banyak.

Berikut ini disajikan beberapa contoh perkalian suku satu, baik

perkalian dengan suku dua atau dengan suku banyak.

Contoh :

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar

berikut ini!

1. 3p(4p – 2q)

2. 5a (3ab - 2ab2 - 4ab)

Penyelesaian :

1. 3p(4p – 2q) = 12p2 + 6pq

2. 5a (3ab – 2ab2 – 4ab) = 5a ((3ab – 4ab) – 2ab2)

= 8a ((-1ab) – 2ab2)

= (8a . (-1ab)) - (8a . 2ab2)

= -8a2b – 16a2b2 (bagi dengan –8)

= 1a2b + 2a2b2

Perkalian Antara Suku Dua dengan Suku Dua

Penyelesaian perkalian suku dua atau binomial tetap

menggunakan konsep dasar sifat distributif. Misalkan kita

mempunyai suku dua (binomial) yang berbentuk (a + b) dan

[8]

(c + d). Langkah-langkah penyelesaian yang harus dilakukan

adalah seperti terlihat pada gambar berikut.

Jadi (a + b)(c + d) = (ac + bc) + (ad + bd)

Contoh :

1. (4x + 2)(x – 6)

2. (3x + 5) (x2 + 2x – 5)

Penyelesaian :

1. (4x + 2)(x – 6) = (4x + 2)x + (4x + 2)(–6)

= 4x2 + 2x + 24x – 12

= 4x2 + 26x – 12

2. (3x + 5) (x2 + 2x – 5) = 3x(x2 + 2x – 5) + 5(x2 + 2x – 5)

= 3x3 + 6x2 – 15x + 5x2 + 10x – 25

= 3x3 + 6x2 + 5x2 – 15x + 10x – 25

= 3x3 + 11x2 – 5x – 25

b) Pembagian

Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan

dalam bentuk pecahan. Pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh :

1. 20pq : 4p

2. 16a2b : 2ab

3. (8x2 + 2x) : (2y2 – 2y)

Penyelesaian :

1. 20pq : 4p = 20 pq

4 p =

4 x 5x px q4 x p

=5q

[9]

(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

2. 16a2b : 2ab = 16a2 b2ab

= 2 x 8 xa x a x b2 x a x b

=8a

3. (8x2 + 2x) : (2y2 – 2y) = 8 x2+2x2 y2−2 y

=2(4 x2+x )2( y2 – y )

=4 x2+xy2− y

c) Perpangkatan

Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang

dengan unsur yang sama. Untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhatikan

perbedaan antara 5b2, (5b)2, –(5b)2, dan (–5b)2 sebagai berikut.

1. 5b2 = 5 x b x b = 5b2

2. (5b)2 = (5b) x (5b) = 25b2

3. –(5b)2 = - ((5b) x (5b)) = - 25b2

4. (–5b)2 = (-5b) x (-5b) = 25b2

Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar suku dua,

perhatikan uraian berikut.

(a + b)1 = a + b, koefisien a dan b adalah 1 1

(a + b)2 = (a + b) (a + b)

= a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab + b2, koefisien a2, ab, dan b2 adalah 1 2 1

(a + b)3 = (a + b) (a + b)2

= (a + b) (a2 + 2ab + b2)

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

[10]

an = a x a x a x … a

sebanyak n kali

(a + b)0 1(a + b)1 1 1(a + b)2121(a + b)3 1 3 3 1(a + b)4 1 4 6 4 1(a + b)5 1 5 10 10 5 1(a + b)6 1 6 15 20 15 6 1(a + b)7 …………….

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, koefisien a3, a2b, ab2 dan b3 adalah 1 3

3 1

Demikian seterusnya untuk (a + b)n dengan n bilangan asli.

Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan koefisien-koefisien

(a + b)n membentuk barisan Segitiga Pascal seperti berikut.

Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a - b)2? Jadi, dengan

menggunakan sifat distributif, bentuk (a - b)2 dapat ditulis:

(a – b)2 = (a – b) (a – b)

= (a – b)a + (a – b)(–b)

= a2 – ab – ab + b2

= a2 – 2ab + b2

Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)n dengan n bilangan asli juga

mengikuti pola Segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya

selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian

berikut.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

[11]

(a – b)5 = a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5

Contoh :

Uraikan perpangkatan bentuk-bentuk aljabar berikut.

1. (x + 3)2

2. (x – 2)4

3. (2x + 3)3

4. (3x – 4)3

Penyelesaian :

1. (x + 3)2 = x2 + 2(x)(3) + 32

= x2 + 6x + 9

2. (x – 2)4 = x4 – 4 (x)3(2) + 6(x)2(2)2 – 4(x)(2)3 + 24

= x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16

3. (2x + 3)3 = (2x)3 + 3(2x)2(3) + 3(2x)(3)2 + 33

= 8x3 + 36x2 + 54x + 27

4. (3x – 4)3 = (3x)3 – 3(3x)2 (4) + 3(3x)(4)2 – (4)3

= 27x3 – 108x2 + 144x – 6

F. Pemfaktoran Suku Aljabar

1) Faktor-faktor suku aljabar

Cara untuk memfaktorkan suatu bentuk aljabar adalah sebagai berikut:

a) Carilah faktor persekutuan setiap suku

b) Bagilah bentuk aljabar tersebut dengan faktor persekutuan terkecil.

Contoh:

Faktorkan bentuk aljabar 3x2-15xy

Penyelesaian:

[12]

Carilah faktor persekutuan dari 3x2 dan -15xy. FPB dari 3x2 dan -15xy adalah

3x, kemudian bagilah setiap suku dengan FPB tersebut sehingga diperoleh:

3 x2

3 x = x

−15 xy3 x

= -5y

Dengan demikian 3x2 - 15xy = 3x (x - 5y)

2) Faktorisasi bentuk x2 ± 2xy + y2

Faktorisasi dari bentuk x2 + 2xy + y2 adalah sebagai berikut:

(x + y)2 = x2 + √ x2 √y2 +y2

= x2 + 2xy + y2

Faktorisasi dari bentuk x2 + 2xy + y2

(x –y)2 = x2 – 2 √x2 √y2 + y24

= x2 – 2xy + y2

Pemfaktoran bentuk x2 ± 2 xy + y2 memperlihatkan bahwa suku kedua

merupakan dua kali akar kuadrat suku pertama dan akar kuadrat suku ketiga.

Contoh:

Faktorkan bentuk aljabar 16x2 + 8xy + y2

Penyelesaian:

16x2 + 8xy + y2 = (4x)2 + 2 √16x2 √y2 + y2

= (4x + y)2

3) Faktorisasi bentuk selisih dua kuadrat

[13]

Bentuk x2 – y2 dinmakan bentuk selisih dua kuadrat. Faktorisasi dari

x2 – y2 adalah

(x2 – y2) = (x + y) ( x – y)

Hal ini dapat dibuktikan dengan uraian sebagai berikut:

(x + y) (x – y) = (x + y)x + (x + y) (-y)

= x2 + xy –xy - y2

= x2 – y2

Jadi, bentuk aljabar dari (x – y) ( x + y) merupakan faktor dari x2 – y2

Contoh:

36m2 – 25(m + 4)2 = (6m)2 - {5(m + 4)}2

= {6m + 5 (m + 4 )} {6m - 5 (m + 4)}

= (6m + 5m + 20) (6m - 5m - 20)

= (11m + 20) (m – 20)

4) Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c

a) Faktorisasi bentuk ax2 + bx2 + c dengan a = 1

Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c adalah (x + p) (x + q) dengan b = p + q

dan c = p x q

Contoh:

x2 + 7x + 12

Penyelesaian:

Diketahui: b = 7 dan c = 12

[14]

Maka : p + q = 7 dan p x q = 12

Sehingga diperoleh 3 + 4 = 7 dan 3 x 4 = 12

Sehingga dapat ditulis x2 + 7x + 12 = (x + 3) (x+ 4)

b) Faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1

Langkah-langkah melalukan faktorisasi bentuk ax2 + bx + c dengan

a ≠ 1 adalah berikut:

1. Merubah bentuk ax2 + bx + c menjadi ax2 + (p + q)x + c = ax2 + px

+ qx + c dengan p + q = b dan p x q = a x c.

2. Bentuk aljabar ax2 + px + qx + c dapat dipandang sebagai jumlah

dua bentuk aljabar, yaitu ax2 + px dan qx + c.

3. Tentukan FPB dan suku-suku ax2 dan px. Kemudian, tuliskan ax2 +

px dalam bentuk hasil kali factor-faktornya.

4. Tentukan pula FPB suku-suku qx dan c. kemudian, tuliskan qx + c

dalam bentuk hasil kali faktor-faktornya.

5. Setelah melakukan langkah (3) dan langkah (4), akan memperoleh :

ax2 + bx + c = a1x (a2x + b2) + b1 (a2x + b2)

= a1x + b1 a2x + b2

Dengan a1 . a2 = a dan (a1 . b2) + (a2 . b1) = b

G. Pecahan Bentuk Aljabar

Pada bagian ini kita akan mempelajari tentang pecahan bentuk aljabar,

yaitu pembilang, penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar. Misalnya

a2

,4p

,3 a

7 bc,m+3

n, dan

x2

x+ y

1) Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

[15]

Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila

pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali

satu, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan

pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang

dan penyebutnya pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

Contoh:

Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut,jika x , y ≠ 0

1.3 x

6 x2 y

2.4 x2 y z3

2 x y2

Penyelesaian:

1. FPB dari 3 x dan6 x2 y adalah 3 x, sehingga

3 x

6 x2 y= 3 x :3 x

6 x2 y : 3 x= 1

2xy

Jadi, bentuk sederhana dari 3 x

6 x2 y adalah

12 xy

2. FPB dari 4 x2 y z3 dan 2 x y2 adalah2 xy ,sehingga

4 x2 y z3

2 x y2 =4 x2 y z3:2 xy2 x y2 :2xy

=2 x z3

y

Jadi, bentuk sederhana dari 4 x2 y z3

2 x y2 adalah 2 x z3

y

2) Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal

a) Penjumlahan dan Pengurangan

Kita telah mengetahuai bahwa hasil operasi penjumlahan dan

pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan

penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan

[16]

pembilangnya. Untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan

KPK dari penyebut-penyebutnya.

Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi

penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar.

Contoh:

Sederhanakan penjumlahan atau pengurangan aljabar berikut :

1.1

2 p+ 5

3q

2.1

k−3− 2

k+1

3.m+2

m−n−1

n

Penyelesaian:

1.1

2 p+ 5

3 q= 1 ×3 q

2 p ×3 q+ 5 ×2 p

3 q × 2 p

=3 q

6 pq+ 10 p

6 pq

= 3 q+10 p

6 pq

2.1

k−3− 2

k+1=

1(k+1)( k−3 ) ¿¿

=k+1

k2−2 k−3− 2 k−6

k2−2 k−3

=k+1−2 k+6

k2−2k−3

=−k+7

k2−2 k−3

3.m+2

m−n−1

n=

n(m+2)m ×n

−m(n−1)

n× m

=mn+2n

mn−

(mn−m)mn

[17]

=mn+2n−mn+m

mn

=mn−mn+2 n+m

mn

=2n+m

mn

b) Perkalian dan Pembagian

Bentuk perkalian pecahan dapat dinyatakan sebagai berikut

ab

×cd= ac

bd;untuk b , d ≠ 0

Contoh:

Tentukan hasil perkalian pecahan bentuk aljabar berikut

1.4

3 a×

ab2

2.x−1

y×

y+1x

3. x2+15

×2 x3

Penyelesaian:

1.4

3 a×

ab2

=4 × ab3 a × 2

=4 ab6 a

=2 b3

→ untuk lebih sederhana bentuknya,

maka pembilang dan penyebut sama-sama dibagi 2a. sehingga

menjadi 2b3

2.x−1

y×

y+1x

=(x−1 ) ( y+1 )

y× x

=xy+ x− y−1

xy

3. x2+15

×2 x3

=( x2+1 ) 2 x

5× 3

[18]

=2 x3+2 x15

= 2 x15

(x2+1)

Pembagian merupakan operasi kebalikan dari operasi perkalian.

Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa membagi dengan suatu pecahan

artinya dengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan tersebut.

a :bc=a×

cb=ac

buntuk b ≠ 0 , c≠ 0

ab

: c=ab

×1c= a

bcuntuk b ≠ 0 , c≠ 0

ab

:cd=a

b×

dc=ad

bcuntuk b ≠ 0 , c≠ 0

Contoh:

Sederhanakan pembagian pecahan aljabar berikut.

1.4 p3 q

:2 q9 p

2.3 ab

:c

4 b2

3. abc

:b2

ac

Penyelesaian:

1.4 p3 q

:2q9 p

=4 p3q

×9 p2q

=36 p2

6 q2

[19]

=6 p2

p2 → untuk sederhana bentuknya, maka pembilang dan

penyebut sama-sama dibagi 6. Sehingga hasilnya menjadi 6 p2

p2

2.3 ab

:c

4 b2 =3 ab

×4 b2

c

=12 a b2

bc

=12 ab

c→ disederhanakan bentuknya, maka pembilang dan

penyebut sama-sama dibagi b. sehingga hasilnya menjadi 12 ab

c

3.abc

:b2

ac= ab

1 c×

ac1 b2

=a2 bcb2 c

= a2

b →disederhanakan bentuknya, maka pembilang dan

penyebut sama-sama dibagi bc. Sehingga hasilnya menjadi a2

b

c) Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar

Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan

bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan

bentuk aljabar.

( ab )

1

=ab

( ab )

2

=ab

×ab=a2

b2

[20]

( ab )

3

=ab

×ab

×ab=a3

b3

Sehingga diperoleh rumus:

( ab )

n

=ab

×ab

×ab

×…×ab=an

bn (sebanyak n kali)

Contoh:

Sederhanakan perpangkatan pecahan aljabar berikut.

1. ( 3 x2 )

3

2. ( −45 y2 )

2

3. ( 5 p+32 )

2

Penyelesaian:

1. ( 3 x2 )

3

=( 3 x2 )×( 3 x

2 )×( 3 x2 )=27 x3

8

2. ( −45 y2 )

2

=( −45 y2 )×( −4

5 y2 )= 1625 y2

3. ( 5 p+32 )

2

=5 p+32

×5 p+3

2

= (5 p+3 )(5 p+3)

4

=25 p2+15 p+15 p+94

[21]

= 25 p2+30 p+94

3) Penggunaan Aljabar Untuk Menyelesaikan Masalah

Contoh:

Diketahui usia ayah empat kali usia anaknya. Lima tahun kemudian, usia

ayah tiga kali usia anaknya. Tentukan masing-masing umur ayah dan

anaknya.

Penyelesaian:

Misalkan: umur ayah= x

umur anak= y

sehingga diperoleh persamaan:

x=4 y…………………….(i)

x+5=3 ( y+5)…………(ii)

Substitusikan persamaan (i) ke persamaan (ii), sehingga diperoleh

x+5=3 ( y+5 )

4 y+5=¿3(y+5)

4 y+5=3 y+15 → 3y dipindah ruas ke kiri, 5 dipindah ruas ke kanan untuk

mendapatkan nilai y. sehingga menjadi:

4 y−3 y=15−5

y=10

Karena nilai y = 10, maka nilai x dapat dicari dengan cara substitusikan nilai

y ke persamaan (i)

x = 4y

x = 4 x 10

[22]

x = 40

Jadi, dapat diketahui bahwa umur ayah 40 tahun, dan umur anaknya 10

tahun.

DAFTAR PUSTAKA

M. Cholik Adinawa, Sugijono dan Ruhadi. Basis MATEMATIKA Jilid 2B untuk

SMP Kelas VIII. Jakarta: PT Gelora Aksara Pratama, 2010.

[23]

Syamsul Junaidi dan Tatag Yuli Eko Siswono. Buku Matematika SMP. Surabaya:

Gelora Aksara Pratama, 2006.

Nurhami, Dewi dan tri Wahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Alikasinya.

Pusat Pemburuan Departemen Pendidikan Nasional.

Keedy, Mervin L, Marvin L. Brittinger. 1986. A Problem Selving Approach to

Intermediate Algebra Secend Edition. Addision Wesley Publishing

Compeny.

[24]