1

Taburan Normal

2

Objektif Pembelajaran

Untuk memperkenalkan taburan kebarangkalian yang lazimnya digunakan dalam membuat keputusan.

Untuk menggunakan konsep nilai jangkaan dalam membuat keputusan.

Untuk menunjukkan kegunaan taburan kebarangkalian yang manakah patut digunakan dan bagaimana mencari nilainya.

Untuk memahami penghadan setiap taburan kebarangkalian yang digunakan

3

Ciri-ciri Taburan Normal

Ia adalah taburan selanjar Ia adalah taburan simetri Ia adalah asimtot kepada

paksi Ia adalah uni-modal Ia adalah keluarga kepada

keluk Keluasan di bawah keluk

ialah 1. Keluasan disebelah kanan

min ialah 1/2. Keluasan disebelah kiri min

ialah 1/2.

4

Fungsi Ketumpatan Kebarangkalian Taburan Normal

. . . 2.71828 e

. . . 3.14159 =X piawaiSisihan

Xmin :Dimana

x

2

1)x(f e

2

2

1

5

Keluk Normal dengan Min dan Sisihan Piawai yang Berbeza

6

Taburan Normal Piawai

Taburan normal dengan– Min sifar, dan – Sisihan piawai 1

ZX

Formula Z

– mempiawaikan sebarang taburan normal

Skor Z

– dikira dengan formula Z

– nombor sisihan piawai dimana nilainya adalah menyisih dari min

7

Jadual Z

Second Decimal Place in Z Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.10 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.20 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.30 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.90 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.00 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.10 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.20 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

2.00 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

3.00 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.49903.40 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.49983.50 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

8

Jadual Kebarangkalian Normal Piawai

P Z( ) .0 1 0 3413

Z 0.00 0.01 0.02

0.00 0.0000 0.0040 0.00800.10 0.0398 0.0438 0.04780.20 0.0793 0.0832 0.0871

1.00 0.3413 0.3438 0.3461

1.10 0.3643 0.3665 0.36861.20 0.3849 0.3869 0.3888

9

Contoh 1

Graduate Management Aptitude Test (GMAT) banyak digunakan untuk keperluan memasuki sekolah siswazah pengurusan di USA. Andaikan skor GMAT adalah bertaburan normal, kebarangkalian mencapai skor melebehi berbagai jeda GMAT boleh ditentukan. Di dalam beberapa tahun kebelakangan, min skor GMAT ialah 494 dan sisihan piawai lebih kurang 100. Apakah kebarangkalian skor yang dipilih secara rawak daripada ujian GMAT ini di antara 600 dan nilai min? Iaitu,

10

Contoh

X=600 = 494 = 100

P(485 X 600)| = 494 dan = 100) = ?

1.06 100

106

100

494 - 600

- X Z

11

1.06 100

106

100

494 - 600

- X Z

Z 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070.4 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.18080.5 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.21570.6 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.24860.7 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.27940.8 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.30780.9 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.33401.0 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.35771.1 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.37901.2 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.39801.3 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147

P(485 X 600) = P(0 Z 1.06) = 0.3554

Z=0 Z=1.06

0.3554

12

Contoh 2Apakah kebarangkalian memperolehi skor lebih besar daripada 700 pada ujian GMAT jika min ialah 494 dan sisihan piawai 100?

P(X > 600)| = 494 dan = 100) = ?

X = 700 = 494 = 100

X > 700

2.06 100

206

100

494 - 700

- X Z

Z=2.06Z=0

Dari jadual Z:

Z=2.06 -> 0.4803

0.500

0.4803

P(Z>2.06) = 0.5000 - 0.4803 = 0.0197

0.0197

13

Contoh 3Bagi ujian GMAT yang sama, apakah kebarangkalian skor kurang daripada 550?

P(X <550)| = 494 dan = 100) = ? = 494 = 100

X=550

0.56 100

56

100

494 - 550

- X Z

Z=0.56Z=0

Keluasan di bawah keluk bagi Z = 0.56 ialah 0.2123

0.500 0.2123 P(X <550) = P(Z < 0.2313) = 0.5000 + 0.2313 = 0.7313

14

Contoh 4Apakah kebarangkalian memperolehi skor kurang daripada 400 di dalam ujian GMAT?

P(X <400)| = 494 dan = 100) = ?

X=400 = 494 = 100

0.94- 100

94-

100

494 - 400

- X Z

Z=-0.94 Z=-0.94

P(Z<-0.94)=P(Z>0.94)

= 0.5000 – 0.3264

= 0.1735

0.5000 0.5000

0.3264 0.32640.1735 0.1735

15

Contoh 5

Apakah kebarangkalian memperolehi skor di antara 300 dan 600 untuk ujian GMAT yang sama?

P(300 X < 600| = 494 dan 100) = ?

X = 300 = 494 X = 600 = 100

1.06 100

106

100

494 - 600

- X Z

94.1 100

194-

100

494 - 300

- X Z

Z=-1.94 Z=0 Z=1.06

P(-1.94 < Z < 1.06) = 0.3554 + 0.4738 = 0.8289

0.35540.4738

16

Contoh 6Apakah kebarangkalian untuk mem-perolehi skor di antara 350 dan 430 bagi ujian GMAT yang sama? 

X = 350 X=430 = 494 = 100

1.44- 100

144-

100

494 - 350

- X Z

0.44- 100

44-

100

494 - 450

- X Z

P(-1.44 < Z < -0.44) = 0.4251 - 0.1700 = 0.2551

Z=-1.44 Z= -0.44

0.1700

0.4251

0.2551

P(X 350 < X < 430| = 494 dan = 100) = ?

17

Contoh 7

Kementerian Kebudayaan dan Pelancongan menerbitkan kos perjalanan untuk beberapa bandar di Malaysia. Khususnya, mereka menerbitkan kos perbelanjaan hotel. Jika 86.65% daripada kos hotel di Johor Baharu adalah kurang daripada RM449 dan jika sisihan piawan kos hotel ialah RM36, apakah purata kos hotel di Johor Baharu? Andaikan kos hotel adalah bertaburan normal.

= ? X = RM449 = RM36

86.65%

0.3665

P(Z < z) = 0.3665

z = ???????

18RM36

- RM449 1.11

- X Z

Z 0.00 0.01 0.02 0.030.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.01200.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.05170.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.09100.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.12930.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.16640.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.20190.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.23570.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.26730.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.29670.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.32381.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.34851.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.37081.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907

P(Z < z) = 0.3665

z = 1.11 = RM449 – (RM36)(1.11) = RM449 – RM39.96 = RM409.04

19

Penghampiran Normal kepada taburan Binomial

Taburan normal boleh digunakan untuk penghampiran bagi taburan binomial

Tatacara:

– Tukarkan parameter binomial kepada parameter normal– Adakah selang ± 3 terletak diantara 0 dan n? Jika YA, teruskan; jika TIDAK, jangan gunakan penghampiran normal.– Selaraskan untuk keselanjaran

– Selesaikan masalah taburan normal

20

Persamaan Penukaran

Penghampiran Normal bagi Binomial: Penukaran Parameter

= n.p

n.p.q σ

21

Contoh Penukaran

Katakan x merupakan taburan normal, carikan P(X|n=60 dan p=0.30)

= n.p = (60)(0.30) = 18

3.55

(0.30)(60)(0.30) n.p.q σ

22

Memeriksa Selang

0 10 20 30 40 50 60n

70

± 3 = 18 ± 3(3.55) = 18 ± 10.65

- 3 = 7.35 + 3 = 7.35

23

Pelarasan Keselanjaran

Nilai yang hendak

ditentukanPelarasan

X> +0.50

X -0.50

X< -0.50

X +0.50

X -0.50 dan +0.50

<X< +0.50 dan – 0.50

Kebarangkalian binomial,

P(X 25|n=60 dan p=0.30)

Adalah hampir dengan kebarangkalian normal

P(X 24.5| = 18 dan = 3.55)

24

P(X 24.5| = 18 dan = 3.55) = 18 X = 24.5 = 3.55

1.83 3.55

18 - 24.5

- X Z

z=0 z=1.83

0.4664

0.5000

Kebarangkalian bagi nilai Z ialah 0.4664, oleh itu:

P(Z 1.83) = 0.50 – 0.4664 = 0.0336

25

Geraf Penghampiran Normal bagi Binomial

26