LINGKARAN 1

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN Oleh :

Saptana Surahmat

Sebelum membahas tentang garis singgung lingkaran tampaknya penting dibahas terlebih dahulu tentang kedudukan garis terhadap lingkaran. Untuk mengetahui kedudukan garis terhadap suatu lingkaran secara visual tidaklah sulit. Gambar 1 di bawah ini menunjukkan tiga kemungkinan kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu garis memotong lingkaran (gambar paling kiri), garis menyinggung lingkaran (gambar tengah) dan garis tidak memotong lingkaran (gambar paling kanan).

Gambar 1. Kedudukan garis g terhadap lingkaran L

Untuk mengetahui kedudukan garis terhadap lingkaran jika masing-masing dinyakan dalam bentuk persamaan dapat dilakukan dengan pendekatan aljabar. Misalkan diketahui garis g : y = mx + n dan lingkaran L : x2 + y2 + Ax + By + C = 0.

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 1

LINGKARAN 1

Kedudukan garis g terhadap lingkaran L ditentukan dengan cara mensubtitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran sbb. :

x2 + (mx + n)2 + Ax + B(mx + n) + C = 0

x2 + m2x2 + 2mnx + n2 + Ax + Bmx + Bn + C = 0

(1 + m2)x2 + (2mn + A + Bm)x + n2 + Bn + C = 0

Jika dimisalkan a = 1 + m2, b = 2mn + A + Bm dan c = n2 + Bn + C, maka bentuk persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi ax2 + bx + c = 0. Bentuk tersebut merupakan bentuk umum persamaan kuadrat. Dengan menggunakan sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat, yaitu terdapat nilai D = b2 4ac dimana

Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang bernilai sama,

Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda,

Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real.

Sehubungan dengan persamaan kuadrat yang di bahas diatas merupakan persamaan kuadrat yang menggambarkan hubungan garis g dan lingkaran L, maka dengan memperhatikan nilai D yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa :

1) Jika D = 0, maka garis g menyinggung lingkaran L;

2) Jika D > 0, maka garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda;

3) Jika D < 0, maka garis g tidak memotong lingkaran L.

Contoh 1.

Tentukan posisi garis y = 3x + 2 terhadap L x2 + y2 + 4x y + 1 = 0 !

Penyelesain :

Subtitusi garis y = 3x + 2 ke L x2 + y2 + 4x y + 1 = 0, diperoleh:

x2 + (3x + 2)2 + 4x (3x + 2) + 1 = 0

10x2 + 13x + 3 = 0 sehingga nilai a = 10, b = 13 dan c = 3

Nilai D = b2 4ac = 169 4.10.3 = 49 > 0

Karena diperoleh D > 0 maka garis y = 3x + 2 memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan.

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 2

LINGKARAN 1

Soal Latihan

Jawablah dengan singkat, jelas dan benar !

1. Selidiki hubungan garis dan lingkaran berikut ini :

a. 2x + y 4 = 0 dan x2 + y2 = 25

b. y = 2x dan x2 + y2 + 4x y + 1 = 0

c. 3x + 4y 12 = 0 dan (x 2)2 + (y + 1)2 = 4

2. Buktikan bahwa garis 3x + 2y 4 = 0 menyinggung lingkaran yg berpusat di P(-1, -3) dan melalui titik (1, 0). Tentukan titik singgungnya!

3. Garis y = -2x + c menyinggung lingkaran x2 + y2 2x 2y 15 = 0. Tentukan nilai c !

4. Diketahui garis 4x 3y + c = 0 dan lingkaran x2 + y2 + 12x = 0. Tentukan batas-batas nilai c agar garis tersebut memotong lingkaran di dua titik yang berbeda !

5. Garis y = x memotong lingkaran L x2 + y2 2x = 0 di titik A dan B. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter AB !

Daftar Pustaka

Auvil, Daniel L, (1985), Elementary Algebra, Canada: Addison-Wesley

Djumanta, Wahyudin, 2008, Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : Untuk Kelas XI SMA/MA, Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Kartini, dkk., (2005), Matematika untuk SMA Kelas XI, Bandung: PT Intan Pariwara

Lestari, Tita, dkk, (2003), Matematika 2A, Bandung: PT Remaja Rosdakarya

Mulyati, Yanti, dkk, (2005), Matematika untuk SMA dan MA program studi Ilmu Alam, Jakarta: Penerbit Piranti Darma Kalokatama

Negoro, ST, B. Harahap, (1998), Ensiklopedia Matematika, Jakarta: Ghalia Indonesia

Soedyarto, Nugroho, 2008, Matematika 2 Untuk SMA/MA Kelas XI Program IPA, Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodikromo, Sartono, (2007), Matematika untuk SMA 2A Kelas XI IPA Semester 1, Jakarta: Penerbit Erlangga.

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA WAJIB 3