Tugas Matematika

Barisan & Deret

Anggota kelompok Alvioli Milanisa H. P. (04) An Nisaa' Ul 'Alimah (07)

Anggun Surya Diantriana (08) Zakiyah Ramadany (37)

Daftar isi Halaman judul

Daftar isi

Bab I

Pendahuluan

Latar belakang…………………………………………………………………………… 1

Tujuan…………………………………………………………………………………………….1

Bab II

Landasan Teori

Definisi barisan dan deret…………….……………………………………….2

Baris dan deret Aritmatika…………………………………………………….2

Baris dan deret Geometri……………………………………………………….3

Bab III

Contoh Soal dan pembahasannya

Contoh soal & pembahasan………………………………………………………5

Bab IV

Penutup

Kesimpulan………………………………………………………………………………….10

Daftar Pustaka…………………………………………………………………………11

BAB I

PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

Barisan dan deret adalah salah satu cabang matematika yang sering kita

temui di kehidupan sehari hari. Seperti salah satunya dalam penataan kursi

untuk acara tertentu, sering kali pula untuk meghitung segala permasalahan

matematis yang mungkin terjadi di kehidupan sehari hari.

Maka dari itu, untuk memenuhi penilaian matematika dengan studi kasus

ini, yang dimana kami mendapatkan materi “Barisan dan Deret” kelompok kami

membuat laporan yang berkaitan dengan tema diatas.

TUJUAN STUDI KASUS

1. Untuk memperdalam materi Barisan dan Deret

2. Memenuhi penilaian untuk materi Barisan dan Deret

BAB II

LANDASAN TEORI

BARISAN DAN DERET

Definisi Barisan : Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai

karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku

dalam barisan.

Bentuk umum barisan adalah sebagai berikut

U1,U2,U3,………Un

Keterangan : U1 : Suku pertama

U2 : Suku kedua U3 : Suku ketiga

Un : Suku ke -n

Contoh :

1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dst

2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dst

Definisi deret : Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U1,U2,U3,…..Un

maka U1+ U2 + U3 +… +Un adalah deret.

Bentuk umum deret adalah sebagai berikut

Sn = U1+ U2 + U3 +… +Un

Keterangan :

Sn = jumlah n suku pertama

Contoh :

1 + 2 + 3 + 4 +… + Un

2 + 4 + 6 + 8 +… + Un

Baris dan Deret Aritmatika

Definisi baris aritmatika :

Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku

sebelumnya adalah suatu bilangan tetap b maka barisan ini adalah barisan

aritmatika. Bilangan tetap b itu dinamakan beda dari barisan.

Polanya : a, a+b, a+2b, a+3b,…..,a+(n-1)b

Dengan

o a = U1= Suku pertama

o b = beda

o n = banyaknya suku

o Un = Suku ke-n

Suku pertamanya adalah 3 (a=3) dan bedanya adalah 2 (b=2), banyaknya

suku ada 5 (n=5), suku ke-5 adalah 11 (U5 = 11).

Deret aritmatika adalah jumlah dari baris aritmatika.

Contoh : 3 + 5 + 7 + 9 + 11

o Ut = Suku tengah

o Sn = Jumlah n suku pertama

Berikut adalah cara untuk mengetahui nilai dari beberapa hal yang disebut

di atas :

Beda

b = Un – Un-1

Suku ke-n

Un = a + (n-1)b

Un = Sn – Sn-1

Jumlah n suku pertama

Sn = ½ n (U1 + Un)

Sn = ½ n ( 2a + (n-1)b )

Nilai tengah

Ut = ½ (U1 + Un)

Baris dan Deret Geometri

Definisi barisan geometri :

Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku

sebelumnya merupakan suatu bilangan tetap r maka barisan tersebut adalah

barisan geometri.bilangan tetap r disebut rasio dari barisan.

Bentuk umum barisan geometri : U1,U2,U3,………Un

a, ar, ar2,…… arn-1

Pada barisan geometri terdapat beberapa rumusan sebagai berikut:

o Rumus rasio

𝒓 = 𝑼𝒏

𝑼𝒏−𝟏

=𝑼𝟐

𝑼𝟏

= 𝑼𝟑

𝑼𝟐

o Rumus mencari suku ke –n

Un = arn-1

U1 = a, U2 = ar, U3 = ar2

Definisi deret geometri :

Jika U1,U2,U3,…..Un adalah barisan geometri maka jumlah U1 + U2 + U3 +…

+Un disebut deret geometri.

Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah :

Sn = 𝑎 (1−𝑟𝑛)

1− 𝑟, jika r < 1 dan

Sn = 𝑎 (𝑟𝑛−1)

𝑟−1, jika r > 1

Deret Geometri Tak Hingga Beret geometri tak hingga adalah deret geometri yang memiliki jumlah suku

sampai tak hingga.

Deret geometri tak hingga dibedakan menjadi:

o Deret geometri divergen

Syarat geometri divergen : jika r < -1 atau r > 1

o Deret geometri konvergen

Syarat deret geometri konvergen : jika -1 < r < 1

Maka rumus jumlah suku tak terhingga (S∞) adalah :

S∞ = 𝑎

1 − 𝑟

Untuk jumlah tak hingga suku- suku bernmor ganjil saja adalah :

S∞ = 𝑎

1 − 𝑟2

Sedangkan jumlah tak hingga suku- suku bernomor genap saja

adalah :

S∞ = 𝑎𝑟

1 − 𝑟2

BAB III

Contoh Soal & Pembahasannya

1. Tentukan suku ke-25 dari barisan deret aritmatika : 1, 4, 7, 10, ... ?

Jawab :

Dik :

deret : 1. 4, 7, 9, ...

a = 1

b = 4-1 = 7-4 = 10-7 = 3

Un = a + (n-1) b

= 1 + (25-1) 3

= 1 + (24) .3

= 1 + 72

= 72

Jadi nilai dari suku ke-25 (U25) adalah 72

2. Jika diketahui nilai dari suku ke-16 dari suatu deret arimatika adalah 32 dan

beda deret adalah 2, maka cari nilai dari suku pertamanya ?

Jawab :

Dik :

U16 = 32

b = 2

n = 16

Ditanya : a ?

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b

U16 = a + (16-1) 2

32 = a + (15).2

32 = a + 30

a = 32 - 30

a = 2

Jadi nilai dari suku pertama (a) dari deret tersebut adalah 2.

3. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-7 adalah 33 dan suku ke-12

adalah 58.

Tentukan : a). Suku pertama (a) dan beda (b)

b). Besarnya suku ke-12

Jawab:

Diketahui :

U7 = 33

U12 = 58

Penyelesaian :

a). U7 = a + (7-1)b

33 = a + 6b

U12 = a + (12-1)b

58 = a + 11b

Lakukan metode subtitusi pada kedua persamaan tersebut.

58 = a + 11b

33 = a + 6b (-)

25 = 5b

b = 25/5

b = 5

33 = a + 6b

33 = a + 6.(5)

33 = a + 30

a = 33 - 30

a = 3

b). Un = a + (n-1) b

U10 = 3 + (12-1). 5

= 3 + (11).5

= 3 + 55

= 58

4. Dalam suatu barisan aritmatika, jika U3 + U7 = 50 dan U6 + U10 = 86 , maka suku

ke-2 deret tersebut adalah ?

Jawab :

U3 + U7 = 50

(a + 2b) + (a +6b) = 50

2a + 8b = 50 (dibagi 2)

a + 4b = 25….(1)

U6 + U10 = 86

(a + 5b) + (a + 9b) = 86

2a + 14b = 86 (dibagi 2)

a + 7b = 43….(2)

Eliminasi (1) dan (2)

a + 4b = 25

a + 7b = 43 –

-3b = -18

b = 6….(3)

a = 1

jadi suku k-2 deret tersebut : U2 = a + b = 6 + 1 = 7.

5. Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku ke-n. jika U2 + U15 + U40 =

165, maka U19 ?

INGAT bahwa : Un = a + (n – 1)b

U2 + U15 + U40 = 165

(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165

3a + 54b = 165

a + 18b = 55

sehingga U19 = a + (19 – 1)b

= a + 18b = 55 .

6. Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …

a. Tentukan suku ke-11 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!

b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab :

a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b

= 8 – 3 = 5.

Un = a + (n – 1)b

U10= 3 + (11 – 1)5

= 3 + 10 x 5

= 3 + 50

= 53

Un = a + (n – 1)b

= 3 + (n – 1)5

= 3 + 5n – 5

= 5n – 2

b. Misalkan Un = 198, maka berlaku :

Un = 198

5n – 2 = 198

5n = 200

n = 40

Jadi 198 adalah suku ke- 40

7. Hitunglah jumlah 12 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + …..

Jawab :

A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 12, maka :

S20 = 10( 6 + 12.2)

= 10 ( 6 + 24)

= 10 ( 30 }

= 300

8. Suatu deret aritmatika mempunyai beda 2 dan jumlah 2 suku pertamanya

adalah 240, jumlah 7 suku pertamanya adalah ?

Jawab :

B = 2

S2o= 240

Ingat bahwa : Sn = n/2(2a + (n -1)b

S20 = 20/2(2.a + (20 – 1).2)

240=10(2a + 38)

240=20a +380 dibagi 10

24=2a +38

2a=24-38

2a=-14

A=-7

Sehingga :

S7 = 7/2(2a + (7 – 1)b)

=7/2(2(-7) + (7 – 1)2)

=7/2(-14 + 12 )

= -7

9. Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah U . diketahui U3 + U6 +

U9 + U12 = 72. Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah ?

Jawab :

Suku ke-n dari barisan aritmatika dirumuskan : Un = a + (n – 1)b

Sehingga :

U3 + U6 + U9 + U12 = 72

(a +2b) + (a + 5b) + (a + 11b) = 72

4a + 26b = 72 (dibagi dengan 2)

2a + 13b = 36

Ingat bahwa jumlah n-suku pertama deret aritmatika :

Sn = n/2(2a + (n -1)b

S14 = 14/2(2a + 13b) = 7(36) =252.

10. Diketahui : U3 = 36, U5 + U7 = 144

Ditanya : S10 ?

Jawab :

Un = a + ( n – 1 )b

U3 = 36

U3 = a + ( 3 – 1 )b = 36

U3 = a + 2b = 36 … (1)

U5 + U7 = 144 { U5 = a + ( 5 – 1 )b }, { U7 = a + ( 7 – 1 )b }

( a + 4b ) + ( a + 6b ) = 144

2a + 10b = 144 … (2)

Eliminasi kedua persamaan :

a + 2b = 36 … (1) | x 2

2a + 10b = 144 … (2) | x 1

2a + 4b = 72

2a + 10b = 144

–6b = –72

b = 12

Subtitusi nilai b ke salah satu persamaan :

a + 2b = 36 … (1)

a + 2(12) = 36

a = 36 – 24

a = 12

Setelah nilai a dan b kita dapatkan baru kita mencari nilai dari S10

Sn = (n/2) { 2a + ( n – 1 )b }

S10 = (10/2) { 2(12) + ( 10 – 1 )12 }

S10 = 5 { 24 + (9)12 }

S10 = 5 { 24 + 108 }

S10 = 5 { 132 }

S10 = 660

11. Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan

habis ke 6 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika

orang ke-3 dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah

kelereng yang saya punya?

Pembahasan

Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 6 (S6). Pertama kita cari nilai

a dan b.

U3 = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)

U4 = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)

……………………………………………. – (eliminasi)

- b = -4 ⇔ b = 4

a+2b = 15

a+8 = 15

a = 7

S5 = 1/2 6 (2(7)+(6-1)4) = 3 (34) = 102 buah kelereng.

BAB IV Penutup

Kesimpulan Barisan merupakan susunan bilangan yang disusun berdasarkan pola atau

aturan tertentu, sementara deret adalah hasil penjumlahan dari suku – suku

setiap barisan.

Terdapat dua barisan dan deret yaitu barisan dan deret Aritmatika serta

barisan dan deret Geometri.

Daftar Pustaka

http://linajuntak.blogspot.com/2014/01/kumpilan-soal-

soal-barisan-dan-deret.html

http://caritahumatematika.blogspot.com/2013/04/pen

gertian-baris-dan-deret.html

Mini book master matematika halaman 343 - 362