Logika Matematika

1

Logika Matematika

Andrian Rakhmatsyah Teknik Informatika STT Telkom

Lab. Sistem Komputer dan Jaringan

Bab 2: Kalkulus Proposisi

2

Kalkulus Proposisi-Pendahuluan

kalkulus proposisi merupakan metoda untuk mengkalkulasi dengan menggunakan proposisi/kalimat.

yang ditinjau adalah nilai kalimat deklaratif (true/false)

Jadi, yang akan dipelajari adalah bagaimana menentukan nilai kebenaran suatu kalimat (True/False)

3


Berdasarkan nilai kebenaran yang dimiliki suatu kalimat maka dapat ditentukan :

Sifat yang dimiliki dari sebuah kalimat Apakah 2 buah kalimat merupakan kalimat

yang ekivalen satu sama lain

Kalimat dalam Kalkulus Proposisi dinotasikan sebagai Kalimat Abstrak. Contoh,

Ada monyet di planet Jupiter Atau

Tidak ada monyet di planet Jupiter

4


Tanpa harus mengetahui, apakah ada kehidupan di planet jupiter, maka kalimat tersebut dapat disimbolkan dengan kalimat abstrak.

P or not (P)

Nilai kebenaran dari P or not (P) adalah Jika P TRUE, maka TRUE or not (TRUE) = TRUE Jika P FALSE, maka FALSE or not (FALSE) = TRUE

Kalimat tersebut selalu bernilai TRUE untuk setiap kemungkinan nilai P, maka kalimat tersebut Bersifat VALID

5


Contoh, diberikan pernyataan sebagai berikut.1. Jika hari hujan, maka jalanan basah2. Jika jalanan tidak basah maka hari tidak hujan

Jika dianalisis nilai kebenaran yang dimiliki kedua kalimat di atas dengan mengubahnya menjadi kalimat abstrak, maka kedua kalimat tersebut adalah ekivalen.

1.1. if P then Qif P then Q

2.2. if (not Q) then (not P)if (not Q) then (not P)

6

Kalkulus Proposisi-DefinisiDefinisi Proposisi,Kalimat pada Kalkulus Proposisi terbentuk dari simbol-simbol Simbol kebenaran ; True dan False Simbol kalimat ; E, F, G, H atau A, B, C, Simbol Variabel ; p, q, r, s, p1, q1, r1, s1, ….

Definisi Kalimat,Kalimat pada Kalkulus Proposisi dibentuk dg menggunakan

penghubung logik, 1. NOT, 2. AND, 3. OR, 4. IF-THEN, 5. IF-AND-ONLY-IF, 6. IF-THEN-ELSE

Operasi pada kalimat proposisi didasarkan pada urutan prioritas penghubung logiknya.

7

Kalkulus Proposisi-Definisi

Contoh, jika diberikan kalimat A : if not p and q then not r

Maka penyelesaian operasi kalimat A adalah

if ((not p) and q) then (not r)bukan

if not (p and q) then (not r)

8


Kalimat dibentuk menurut aturan-aturan berikut ini :1. setiap proposisi adalah kalimat, 2. jika F adalah kalimat, maka negasi (not F) adalah kalimat,3. jika F dan G adalah kalimat, maka konjungsi (F and G) adalah

kalimat,4. jika F dan G adalah kalimat, maka disjungsi (F or G) adalah

kalimat,5. jika F dan G adalah kalimat, maka implikasi (If F then G) adalah

kalimat. F disebut sebagai antisenden dan G sebagai konsekuen,

6. jika F dan G adalah kalimat, maka ekivalensi (F if and only if G) adalah kalimat. F disebut sebagai left-hand-side dan G sebagai rigth-hand-side dari ekivalensi,

7. jika F, G, dan H adalah kalimat, maka kondisional if F then G else H adalah kalimat. F disebut sebagai if-clausa, G sebagai then-clausa, dan H adalah sebagai else-clausa

9


Kalimat-kalimat yang digunakan untuk membangun kalimat lain yang lebih kompleks, menggunakan salah satu aturan di atas dinamakan subkalimat dari kalimat tsb.

Subkalimat dari kalimat A adalahSetiap kalimat antara, yang dipakai untuk membangun

kalimat A termasuk kalimat A itu sendiri.

Subkalimat murni (proper subsentence) dari kalimat A adalah

Setiap kalimat antara, yang dipakai untuk membangun kalimat A tetapi tidak termasuk kalimat A itu sendiri.

10

Kalkulus Proposisi-DefinisiContoh, diketahui ekspresi

E : ((not (p or q) if only if ((not p) and (not q))) a. Apakah E merupakan kalimat ?b. Cari subkalimat dari E ?

Jawab,a. E adalah kalimat karena, p adalah kalimat dan q adalah

kalimat,(p or q), (not p) dan (not q) adalah kalimat(not (p or q) and ((notp) and (notq)) adalah kalimat((not (p or q)) if and only if ((not p) and (not q))) adalah kalimat

b. E memiliki 8 subkalimat, yaitup, q, (p or q), (not p), (not q), not (p or q), (not p) and (not q), ((not (p or q)) if and only if ((not p) and (not q)))

Sebuah kalimat proposisi memiliki arti atau nilai kebenaran (true/false) tergantung dari interpretasi yang diberikan untuk kalimat tsb.

11

Kalkulus Proposisi-Arti

Suatu kalimat P or (not Q) dapat diketahui kebenarannya, jika diketahui nilai kebenaran dari simbol proposisi p dan q.

Definisi InterpretasiInterpretasi I untuk kalimat A adalah pemberian

nilai kebenaran true atau false, untuk setiap kumpulan simbol kalimat A tsb.

Untuk sebarang kalimat A, interpretasi I disebut sebagai interpretasi untuk A jika I memberikan nilai kebenaran untuk setiap variabel proposisi yang muncul pada kalimat A.

12

Kalkulus Proposisi-ArtiContoh, diketahui kalimat

F : p or (not q)

Ada beberapa macam interpretasi yang dapat diberikan untuk F I1 : p false

q trueI2 : p false

q falseI3 : p falseI4 : p false

q true r false

Dapat disimpulkan bahwa, I3 bukan interpretasi yang valid untuk F. Sedangkan I1, I2, dan I4 adalah interpretasi untuk F. walaupun I4 memberikan nilai pada var yang tidak muncul pada F.

13

Kalkulus Proposisi-Aturan Semantik

DefinisiJika E berupa kalimat dan I adalah intepretasi dari E, maka nilai

kebenaran dari E (dan semua subkalimatnya) dengan interpretasi I ditentukan dengan melakukan pengulangan aturan-aturan semantik berikut ini :

Aturan ProposisiNilai kebenaran dari setiap simbol proposisi p, q, r, … dalam E adalah sama dengan nilai kebenaran yang diberikan untuk I

Aturan TRUEKalimat true adalah true untuk I

Aturan FALSEKalimat false adalah false untuk I

Aturan NOTNegasi kalimat : not F adalah true jika F adalah false dan false jika F adalah true

Aturan AND Konjungsi F and G adalah true jika F dan G keduanya benar, dan false jika sebaliknya (yaitu jika F false atau G false)

14


Aturan orDisjungsi F or G adalah true jika F true atau jika G true, dan false jika keduanya false

Aturan if-thenImplikasi if F then G adalah true jika F false atau jika G true dan false jika F true dan G false

Aturan if-and-only-ifEkivalensi F if and only if G adalah true jika nilai kebenaran F adalah sama dengan nilai kebenaran G, sebaliknya false jika memiliki nilai kebenaran keduanya berbeda.

Aturan if-then-elseNilai kebenaran kondisional if F then G else H adalah nilai kebenaran G jika F true dan nilai kebenaran H jika F false.

15


Contoh, misalkan sebuah kalimat :A : if (x and (not y)) then ((not x) or z)

interpretasi I untuk A adalah I : x T

y Fz F

Dengan menggunakan aturan semantik, maka kalimat A dapat ditentukan nilai kebenarannya,

karena y F, maka berdasarkan aturan not, (not y) Tkarena x T dan (not y) T, maka berdasarkan aturan and, (x

and (not y)) Tkarena x T, maka berdasarkan aturan not, (not x) Fkarena (not x) f dan z F, maka berdasarkan aturan or, ((not

x) or z) Fkarena (x and (not y)) T dan ((not x) or z) F, maka

berdasarkan aturan if-then, if (x and (not y)) then ((not x) or z) F

16

Kalkulus Proposisi-Sifat Kalimat

VALID (TAUTOLOGI)Kalimat A valid jika bernilai true berdasarkan semua interpretasi untuk A

SATISFIABLEKalimat A satisfiable jika bernilai true berdasarkan beberapa interpretasi untuk A

CONTRADICTORY (UNSATISFIABLE)Kalimat A contradictory jika bernilai False berdasarkan semua interpretasi untuk A

IMPLIESKalimat A implies kalimat B, jika untuk sebarang interpretasi I untuk A dan B, jika A bernilai true berdasarkan I maka B juga bernilai true berdasarkan I

EQUIVALENTKalimat A dan B ekivalen jika, untuk setiap interpretasi A dan B, A mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan B

CONSISTENTSekumpulan kalimat A1, A2, … konsisten jika ada interpretasi untuk A1, A2, … sehingga Ai (I = 1, 2, 3, …) bernilai true

17


Contoh, Kalimat w or (not w) adalah kalimat

valid Kalimat x and (not x) adalah kalimat

contadictory

18

Kalkulus Proposisi-Kalimat Abstrak

19


20


Bentuklah ke dalam kalimat abstrak1. Sore hari ini mendung dan lebih dingin dari kemarin. Jika saya akan pergi

berenang maka cuaca cerah. Jika saya tidak berenang maka saya akan pergi belanja. Jika saya pergi belanja maka saya akan berada dirumah tepat pada saat matahari terbenam.

Misalkan :p Sore hari ini cuaca cerahq Lebih dingin dari kemarinr Saya akan pergi berenangs Saya akan pergi belanjau Saya akan berada dirumah tepat pada saat matahari terbenam.

Sore hari ini mendung dan lebih dingin dari kemarin : not p and q Jika saya akan pergi berenang maka cuaca cerah : if r then p Jika saya tidak berenang maka saya akan pergi belanja : if not r then s Jika saya pergi belanja maka saya akan berada dirumah tepat pada saat

matahari terbenam : if s then u

21


Seorang raja yang mutlak harus sungguh-sungguh dapat berlaku sebagai binatang, harus berbuat seperti si rubah dan si singa, sebab singa tidak dapat melindungi dirinya terhadap jerat, dan si rubah tidak dapat mempertahankan diri terhadap srigala.

22


P seorang raja … sebagai binatangQ si rubahR si singaS tidak dapat melindungi dirinya terhadap jeratT tidak dapat mempertahankan diri terhadap srigala.

“Seorang raja yang mutlak harus sungguh-sungguh dapat berlaku sebagai binatang, harus berbuat seperti si rubah dan si singa…”

A : if p then q and r

“…singa tidak dapat melindungi dirinya terhadap jerat..” B : If r then s

“…si rubah tidak dapat mempertahankan diri terhadap srigala.” C : If q then t

Sehingga : if B and C then A If (If r then s) and (If q then t) then (if p then q and r)

Jika tikus itu waspada dan bergerak cepat, maka kucing atau anjing itu tidak mampu

menangkapnya.

if (p and q) then (not r or not s)

23

Jika orang beruang, maka ia dapat membeli makanan yang mahal sehingga

ia mendapat makanan yang enak.

if p then (q and r)

24

Dia tidak kaya akan tetapi ia membeli makanan yang mahal, maka ia mendapat

makanan yang enak.

if (not p and q) then r

25

Hanya kalau dia bisa bersabar dan tidak terburu-buru pulang, maka ia dapat bertemu

dengan kakaknya dan kakaknya akan mengantarnya pulang.

if (p and not q) then (r and s)

26

Seorang ayah tidak perlu gelisah akan musibah jika anaknya dapat menjaga diri;

akan tetapi kalau anaknya tidak bisa menjaga diri dan terjadi kecelakaan, maka ia

harus waspada mengawasinya.

(if p then not q) and (if (not r and s) then t)

27

Catatan : - sehingga, akan tetapi : AND - sebab, kalau, jika, hanya jika/kalau: IF - sama artinya, jika dan hanya jika: IFF - tidak : NOT

28

29

Latihan : Kalkulus Proposisi-Kalimat Abstrak

1. Jika kamu mengirim e-mail maka saya akan menyelesaikan program lebih awal. Jika kamu tidak mengirim e-mail maka saya akan tidur lebih awal. Jika saya tidur lebih awal maka saya akan merasa lebih segar.

2. Kalau rakyat rajin bekerja dan Pemerintah cakap, maka masyarakat tenang atau pembangunan berjalan lancar. Kalau rakyat tenang atau pembangunan berjalan lancar, maka negara sejahtera dan rakyat bahagia. Rakyat rajin bekerja.

3. Jika hari hujan dan angin kencang maka terjadilah banjir. Jika terjadi banjir, rakyat menderita. Anginnya kencang, akan tetapi rakyat tidak menderita.

30


4. Jika penawaran emas dibiarkan konstan dan permintaan emas bertambah maka harga emas naik. Jika permintaan emas bertambah yang menyebabkan harga emas naik, maka ada keuntungan bagi spekulator. Penawaran emas dibiarkan konstan.

5. Kalau rakyat berkuasa dan ada pemilihan umum, itu berarti bahwa ada sistem demokrasi. Kalau ada pemilihan umum dan ada sistem demokrasi, maka pemerintah dapat diganti oleh rakyat. Rakyat berkuasa.

6. Kalau rakyat berpegang pada UUD ’45, maka rakyat menerima apa yang tercantum didalamnya. Kalau rakyat menerima apa yang tercantum di dalam UUD ’45, maka rakyat menerima Pancasila. Rakyat berpegang pada UUD ’45 dan ada yang berpegang kepada ideologi lain.

31


7. Kalau harga di Toko itu rendah, tentu banyak pembelinya. Toko itu dekat pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu tidak dekat dengan pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu tidak dekat dengan pemukiman penduduk.

8. Kalau rakyat berpegang pada UUD ’45, maka rakyat menerima apa yang tercantum didalamnya. Kalau rakyat menerima apa yang tercantum di dalam UUD ’45, maka rakyat menerima Pancasila. Kalau dalam berpolitik ada yang berpegang kepada ideologi lain, maka negara Indonesia akan pecah. Rakyat berpegang pada UUD ’45 atau ada yang berpegang kepada ideologi lain.

32

Kalkulus Proposisi-Nilai Kebenaran

Penentuan nilai kebenaran suatu kalimat dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu :

1. Tabel Kebenaran

2. Tabel Jarang (sparse)

3. Pohon Semantik

33

Kalkulus Proposisi-Tabel Kebenaran

if (p and q) then (p or (not r)

Menggunakan Tabel Kebenaran

34

Kalkulus Proposisi-Tabel Jarang


Menggunakan Tabel Jarang (sparse table)

35

Kalkulus Proposisi-Pohon Semantik


Menggunakan Pohon Semantik

36

Kalkulus Proposisi-Pohon Semantik

if (if x then y) then (if (not x) then (not y))

37

Kalkulus Proposisi-Nilai Kebenaran

1. A : not (not p and not q)

2. B : p and (p or q)

3. C : [not p and (not q and r)] or (q and r) or (p and r)

4. D : [ p and q ] or [ (if not p and q then p) or not q ]

5. E : [ if p then q ] if and only if [if not q then not p ]

38

Solusi no. 1

39

Solusi no. 2

40

Solusi no. 3

41

Solusi no. 4

42

Solusi no. 5

43

Kalkulus Proposisi-Falsification

Digunakan untuk membuktikan validitas sebuah kalimat.

Untuk membuktikan validitas sebuah kalimat diperlukan pembuktian nilai true, untuk semua interpretasi yang mungkin pada kalimat tersebut.

Akan lebih mudah untuk membuktikan, jika ada 1 interpretasi yang mengakibatkan nilai kalimat tersebut falsemaka kalimat tersebut tidak valid.

44


A : if ((not x) or (not y)) then (not (x and y))

Dimisalkan A bernilai False berdasarkan suatu interpretasi, sehingga :

if ((not x) or (not y)) then (not (x and y)) False

Dicobakan sehingga asumsi awal (false) dapat terbukti.

Antisenden : (not x) or (not y) TrueKonsekuen : not (x and y) False

45


Antisenden : (not x) or (not y) TrueKonsekuen : not (x and y) False

Dari antisenden belum dpt ditarik kesimpulan, shg dicari dari Konsekuen yaitu didapat

not (x and y) False(x and y) True

I : x Truey True.

Dari interpretasi yang didapat, maka Antisenden(not x) or (not y) True (asumsi awal)

not (True) or not (True) False (dari I)

Terdapat Ketidaksesuaian antara asumsi awal dengan Interpretasi yang didapat, maka terjadi kontradiksi. Karena kontradiksi maka dapat diambil kesimpulan bahwa kalimat bersifat VALID

46


B : (if x then y) if and only if ((not x) or y)

Ada 2 kasus yang menjadikan kalimat B adalah False, yaitu

I1 :Sisi kiri : (if x then y) TrueSisi kanan : ((not x) or y) False

I2 :Sisi kanan : ((not x) or y) TrueSisi kiri : (if x then y) False

Maka harus diuji-cobakan untuk keseluruhan kasus.

47


Kasus I1 :Sisi kiri : if x then y TrueSisi kanan : not x or y False

Dari sisi kanan dpt diambil kesimpulan :not x or y False

I1 : y Falsex True

Sehingga sisi kiri,if x then y True (asumsi awal)

Dari I1 , dapat disimpulkan bahwa If True then False False

Sehingga terjadi KONTRADIKSI antara asumsi awal dengan I1

48


Kasus I2 :Sisi kanan : ((not x) or y) TrueSisi kiri : (if x then y) False

Dari sisi kiri dpt diambil kesimpulan :(if x then y) False

I2: y Falsex True

Sehingga sisi kanan,(not x) or y True (asumsi awal)

Dari I2 , dapat disimpulkan bahwa (not True) or False False

Sehingga terjadi KONTRADIKSI antara asumsi awal dengan I2

49


Kasus 1 : Terjadi KONTRADIKSI antara asumsi awal dengan I1

Kasus 2 : Terjadi KONTRADIKSI antara asumsi awal dengan I2

Sehingga disimpulkan bahwa kalimat B adalah VALID

50


1. [(if x then y) or (if x then z)] iff (if x then y and z)

2. if (w and x or not z) then (not w iff z) and not x3. if (not x and y) and (if z then x) and (if z then

w) and (if w then u) then u4. if (if p then q) and (if not p then r) and (if r

then s) then (if not q then s)

5. if (if p then q) and (if r then s) and (if not p then not s) then (if r then q)

51

EKIVALENSI DAN KONSEKUENSI LOGIK

Definisi Ekivalensi LogikDua buah kalimat A dan B merupakan ekivalensi logik jika dan hanya jika

memiliki nilai yang sama pada semua interpretasi yang diberikan.

TeoremaA Ekivalensi B, jika dan hanya jika ( A iff B) merupakan Tautologi

Definisi Konsekuensi LogikB adalah konsekuensi logik dari A jika untuk setiap pemberian nilai

kebenaran ke variabel pada A dan pada B sedemikian sehingga jika A mempunyai nilai TRUE maka B juga mempunyai nilai TRUE

TeoremaB Konsekuensi Logis dari A, jika dan hanya jika (if A then B) merupakan

Tautologi

Catatan :Jika pernyataan lebih dari 1, misal A1, A2, A3 maka bentuk konsekuensi

logiknya :IF (A1 AND A2 AND A3) THEN B

52

EKIVALENSI DAN KONSEKUENSI LOGIK

Contoh Kasus :Periksa apakah B merupakan kesimpulan dari 6 argumen

dibawah ini ?A1 : if P then (Q and R and S)A2 : if T then (if U then (if not Y then not S))A3 : if Q then TA4 : if R then (if X then U)A5 : if Y then not XA6 : XB : not P

JawabanHarus dibuktikan bahwa kalimat : IF (A1 and A2 and A3 and A4 and A5 and A6) THEN B

adalah VALID

53

KONSEKUENSI LOGIK

A1 : if p then (q and r and s) trueA2 : if t then (if u then (if not y then not

s)) trueA3 : if q then t trueA4 : if r then (if x then u) trueA5 : if y then not x true A6 : x trueB : not p false

54

KONSEKUENSI LOGIK

A6 : x TrueB : not p False ; p True

A5 : if y then not x True if y then not True True ; y False

A1 : if p then (q and r and s) True if True then (q and r and s) True (q and r and s) True q True; r True; s True

A3 : if q then t True if True then t True; t True

A4 : if r then (if x then u) True if True then (if True then u) True (if True then u) True u True

A2 : if t then (if u then (if not y then not s)) True if True then if True then (if not False then not True)) True

if True then False True False ≠ True Kontradiksi

Karena terjadi Kontradiksi maka VALID. Karena VALID maka B Konsekuensi Logik dari A1, A2, A3, A4, A5, dan A6

55

Kalkulus Proposisi-Konsekuensi Logik

Selidiki apakah kesimpulan yang diberikan merupakan konsekuensi logik dari pernyataan-pernyataan yang diberikan dengan menggunakan Metode Asumsi Salah !

1. Jika kamu mengirim e-mail maka saya akan menyelesaikan program lebih awal. Jika kamu tidak mengirim e-mail maka saya akan tidur lebih awal. Jika saya tidur lebih awal maka saya akan merasa lebih segar.

Jadi, Jika saya tidak menyelesaikan program lebih awal maka saya akan merasa lebih segar

2. Kalau rakyat rajin bekerja dan Pemerintah cakap, maka masyarakat tenang atau pembangunan berjalan lancar. Kalau rakyat tenang atau pembangunan berjalan lancar, maka negara sejahtera dan rakyat bahagia. Rakyat rajin bekerja.

Jadi, Negara sejahtera

56


3. Jika hari hujan dan angin kencang maka terjadilah banjir. Jika terjadi banjir, rakyat menderita. Anginnya kencang, akan tetapi rakyat tidak menderita.

Jadi, Hari tidak hujan

4. Jika penawaran emas dibiarkan konstan dan permintaan emas bertambah maka harga emas naik. Jika permintaan emas bertambah yang menyebabkan harga emas naik, maka ada keuntungan bagi spekulator. Penawaran emas dibiarkan konstan.

Jadi, Ada keuntungan bagi spekulator

57


5. Kalau rakyat berkuasa dan ada pemilihan umum, itu berarti bahwa ada sistem demokrasi. Kalau ada pemilihan umum dan ada sistem demokrasi, maka pemerintah dapat diganti oleh rakyat. Rakyat berkuasa.

Jadi, Pemerintah dapat diganti oleh rakyat

6. Kalau rakyat berpegang pada UUD ’45, maka rakyat menerima apa yang tercantum didalamnya. Kalau rakyat menerima apa yang tercantum di dalam UUD ’45, maka rakyat menerima Pancasila. Rakyat berpegang pada UUD ’45 dan ada yang berpegang kepada ideologi lain.

Jadi, Rakyat menerima Pancasila

58


7. Kalau harga di Toko itu rendah, tentu banyak pembelinya. Toko itu dekat pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu tidak dekat dengan pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu tidak dekat dengan pemukiman penduduk.

Jadi, harga Toko itu tidak rendah.

8. Kalau rakyat berpegang pada UUD ’45, maka rakyat menerima apa yang tercantum didalamnya. Kalau rakyat menerima apa yang tercantum di dalam UUD ’45, maka rakyat menerima Pancasila. Kalau dalam berpolitik ada yang berpegang kepada ideologi lain, maka negara Indonesia akan pecah. Rakyat berpegang pada UUD ’45 atau ada yang berpegang kepada ideologi lain.

Jadi, Rakyat menerima Pancasila atau negara Indonesia akan pecah

59

Asumsi

Asumsi 1p kamu mengirim emailq saya akan menyelesaikan progam lebih awal r saya akan tidur lebih awal s saya merasa lebih segar

Asumsi 2p rakyat rajin bekerja, q pemerintah cakapr rakyat tenang s pembangunan berjalan lancart negara sejahterau rakyat bahagia

60

Asumsi

Asumsi 3p hari hujan, q angin kencang r terjadi banjir s rakyat menderita.

Asumsi 4p penawaran emas dibiarkan konstanq permintaan emas bertambahr harga emas naiks ada keuntungan bagi spekulator

61

Asumsi

Asumsi 5p rakyat berkuasaq ada pemilihan umumr ada sistem demokrasis pemerintah dapat diganti oleh rakyat

Asumsi 6p rakyat berpegang pada UUD ’45, q rakyat menerima apa yang tercantum

didalamnya, r rakyat menerima Pancasila, t ada yang berpegang kepada ideologi lain

62

Asumsi

Asumsi 7p Harga di Toko itu rendah, q banyak pembelinya, r Toko itu dekat pemukiman penduduk

Asumsi 8p rakyat berpegang pada UUD ’45, q rakyat menerima apa yang tercantum

didalamnya, r rakyat menerima Pancasila, t ada yang berpegang kepada ideologi lain, s negara Indonesia akan pecah

63

KONJUNGSI DAN DISJUNGSI JAMAK

Misal diberikan kalimat yang mengandung operator konjungsi atau konjungsi lebih dari satu,A : p and q and rB : p or q or r

Maka urutan perngerjaan operasi pada kalimat tersebut dilakukan dari kiri ke kanan sesuai aturan sebagai berikut

Konjungsi JamakA1 and A2 and A3 and A4 and … and An

Memiliki arti :((… ((A1 and A2) and A3) and A4) and … ) and An)

Disjungsi JamakA1 or A2 or A3 or A4 or … or An

Memiliki arti :((… ((A1 or A2) orA3) or A4) or … ) and An)

64


Kalimat-kalimat berikut adalah ekivalen karena adanya hukum asosiasi :

A : ((w and x) and y) and zB : w and (x and (y and z))C : w and ((x and y) and z)

65


Aturan semantik untuk hubungan jamak :

Konjungsi jamakA1 and A2 and A3 and … and An bernilai True jika

tiap conjuct A1, A2, A3, … An adalah True

Disjungsi JamakA1 or A2 or A3 or … or An bernilai True jika jika

setidaknya salah satu dari A1, A2, A3, … An adalah True

66

SUBSTITUSI

Substitusi adalah operasi pengantian subkalimat dari suatu kalimat dengan subkalimat yang lain.

Substitusi TotalPenggantian seluruh kemunculan suatu

subkalimat

Substitusi ParsialPenggantian nol, satu, atau lebih kemunculan

suatu subkalimat

67

SUBSTITUSI TOTAL

Definisi Substitusi Total

Jika A, B, C adalah kalimat, maka

A {B C}

Adalah kalimat yang dihasilkan dengan mengganti seluruh kemunculan B di A dengan C.

68

SUBSTITUSI TOTAL

Contoh :1. [ x and (y or x) ] { x (if w then z) }

menghasilkan :

(if w then z) and (y or (if w then z))

2. [ if x then (y and z) ] { (y and z) w }menghasilkan :

if x then w

69

SUBSTITUSI TOTAL

Catatan :1. Substitusi dikerjakan dalam 1 langkah [x and y] { x (x and z)} menghasilkan (x and z) and y

2. Substitusi tidak memiliki efek jika subkalimat yang akan diganti tidak muncul dalam kalimat,

[x and y] { z w } menghasilkan menghasilkan x and y

3. Substitusi untuk konjungsi dan disjungsi jamak :[x and y and z] {(x and y) w}

Sebenarnya [(x and y) and z]{(x and y) w} menghasilkan w and z

70

SUBSTITUSI PARSIAL

Definisi Substitusi Parsial

Jika A, B, C, adalah kalimat maka A {B C}

Akan menghasilkan salah satu kalimat dengan mengganti nol, sebagian, atau seluruh kemunculan subkalimat B di A dengan subkalimat C

71

SUBSTITUSI PARSIAL

Contoh :[ x or x ] {x y}

akan menghasilkan salah satu dari kalimat-kalimat berikut :

1. x or x {mengganti nol kemunculan x }2. y or x {mengganti kemunculan x pertama}3. x or y {mengganti kemunculan x kedua}4. y or y {mengganti seluruh kemunculan

dari x}

72

SUBSTITUSI PARSIAL

Substitusi parsial bersifat invertible, yaitu salah satu kalimat yang mungkin dihasilkan adalah kalimat semula.

( A {BC}) {C B}hasilnya adalah A

Contoh :1. [ (x or y) {x y}] {y x}

salah satu kalimat yang mungkin adalah : x or y2. [(x or y) {x y}] {y x }

hasil yang diperoleh tepat 1 kalimat yaitu : x or x

73

SUBSTITUSI JAMAK

Definisi : Misal A, B1, B2, …, dan C1, C2, …, Cn adalah kalimat dengan B1, B2, …, Bn saling berlainan.

Substitusi TotalSubstitusi total dituliskan sebagai :A [ B1 C1

B2 C2

… Bn Cn ]

Adalah kalimat yang diperoleh dengan menggantikan secara simultan (serempak) setiap kemunculan Bi di Ai dengan Ci

74

SUBSTITUSI JAMAK

Substitusi PartialSubstitusi partial dituliskan sebagai :A [ B1 C1

B2 C2

… Bn Cn ]

Adalah salah satu kalimat yang diperoleh dengan menggantikan nol, satu, atau lebih kemunculan Bi di Ai dengan Ci

75

SUBSTITUSI JAMAK

Contoh :1. Substitusi jamak dilakukan serentak dalam 1

langkah

x [ x y y x ]

menghasilkan kalimat : y

Bedakan dengan substitusi bertahap sebagai berikut :

x { x y } { y z } menghasilkan kalimat

: z

76

SUBSTITUSI JAMAK

2. [ if x then if y or x ◄ x z then y or z ] (y or z )

not z

menghasilkan :[ if z then if (y or z) then not z ]

77

SUBSTITUSI JAMAK

3. [ if x then if (y or x) x z

then (y or z) ] (y or z) not z

menghasilkan salah satu dari 8 kalimat.a. if x then if y or x then y or zb. if z then if y or x then y or zc. if x then if y or z then y or zd. if z then if y or z then y or ze. if x then if y or x then not zf. if z then if y or x then not zg. if x then if y or z then not zh. if z then if y or z then not z

78

PERLUASAN INTERPRETASI

Definisi Interpretasi yang diperluasJika I adalah suatu interpretasi, x adalah simbol

proposisi dan adalah nilai kebenaran (true/false) maka perluasan interpretasi :

[ x I ] o I

adalah interpretasi yang memberikan nilai pada x dan memberikan nilai kebenaran yang sesuai dengan interpretasi I untuk semua simbol proposisi selain x.

79

PERLUASAN INTERPRETASI

Contoh :IA : x T

y F

Jika IB = [y T] o IA

maka menghasilkan perluasan interpretasiIB : x T

y T

80

METODA DEDUKSI

Salah satu metoda yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan berdasarkan pernyataan atau premis-premis yang diketahui.

Metoda deduksi ini menggunakan aturan-aturan penalaran, ekivalensi logik dan tautologi

Untuk mempermudah operasi penurunan digunakan operator-operator lama sbb:

Asumsi salah : 1. membuktikan valid tdknya kalimat 2. membuktikan apkh kal tsb merupkan

konsek logik If (A and B and C) then D D= kesimpulan /konsekuensi/hasil penalaran A,B,C = argumen/premis/penyebab

81

82

METODA DEDUKSI

Metoda Deduksi hanya dapat menunjukkan bahwa kesimpulan dari suatu penalaran valid; yaitu Jika kesimpulan yang diperoleh dapat dicapai/dibuktikan dengan aturan yang ada

Jika tidak dapat menarik suatu kesimpulan dengan metoda deduksi, maka tidak berarti penalaran tersebut tidak valid. Ketidakvalidan suatu penalaran harus tetap dibuktikan secara eksplisit dengan Tabel Kebenaran atau Analisis Asumsi Salah (Falsification)

83

ATURAN PENALARAN DASAR

KONJUNGSI

Jika diketahui proposisi p dan q TRUE maka dapat disimpulkan bahwa penalaran berbentuk konjungsi (p q) juga akan bernilai TRUE

84


SIMPLIFIKASI

Jika penalaran berbentuk konjungsi (p q) bernilai TRUE maka dapat disimpulkan bahwa proposisi unsur pembentuknya, yaitu p dan q TRUE

85


ADDITION DISJUNGSIJika diketahui suatu proposisi p bernilai

TRUE maka dapat disimpulkan bahwa proposisi disjungsi dengan proposisi lain juga bernilai TRUE

86


SILOGISME DISJUNGTIVEJika diketahui disjungsi p q bernilai

TRUE dan salah satu proposisi pembentuknya FALSE maka dapat ditarik kesimpulan proposisi yang lain TRUE

87


MODUS PONENJika kondisional p q TRUE; dimana

antisendennya TRUE maka dapat disimpulkan bahwa konsekuen harus TRUE

88


MODUS TOLLENSJika kondisional p q TRUE; dimana

konsekuennya FALSE maka dapat disimpulkan bahwa antisenden harus FALSE

89


SILOGISME HIPOTETIKJika diketahui 2 buah kondisional yang

berkesinambungan maka dapat disimpulkan suatu kalimat kondisional yang baru

91


Note :Metoda Deduksi mengandung kesulitan

karena tidak ada suatu pegangan yang pasti untuk menurunkan kesimpulan, yaitu apakah harus menggunakan suatu aturan penalaran tertentu (misal : Simplifikasi, Modus Ponen, dll) atau menggunakan aturan ekivalensi atau aturan lainnya

92

METODA DEDUKSI-CONTOHDiketahui :Jika ibu datang dari pasar, maka ani senang sekaliIbu datang dari pasar dan membawa kue boluJadi : Ani senang sekali

Apakah kesimpulan tersebut Valid?

Jawab :Ubah penalaran tersebut menjadi kalimat proposisiPremis:Jika ibu datang dari pasar, maka ani senang sekali : p qIbu datang dari pasar dan membawa kue bolu : p r

Kesimpulan:Ani senang sekali : q

93

METODA DEDUKSI-CONTOH

94


Diketahui :Ani masuk sekolah atau ani tidak masuk sekolahJika ani tidak masuk sekolah maka sekolah pasti liburSekolah Tidak LiburApa Kesimpulan dari penalaran tersebut ?

Jawab :Gunakan metode deduksi !Premis:Ani masuk sekolah atau ani tidak masuk sekolah : p ~ pJika ani tidak masuk sekolah maka sekolah pasti libur : ~ p

qSekolah Tidak Libur : ~ q

95


Tentukan kesimpulan yang sahih dengan menggunakan metode Deduksi dari pernyataan-pernyataan berikut ini :

Kalau harga di Toko itu murah, tentu banyak pembelinya. Toko itu dekat pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu tidak dekat dengan pemukiman penduduk atau tidak banyak pembelinya. Toko itu tidak dekat dengan pemukiman penduduk.

Misalkan p <- Harga di Toko itu murah, q <- banyak pembelinya, r <-Toko itu dekat pemukiman penduduk

96

MATERI QUIZ II

QUIZ BESOK JAM 7.30-09 A109 JAM 09.30-10.30/11 -> responsi BENTUK STANDAR/KANONIK SOP&POS K-MAP MC QUINE SIFAT KALIMAT DGN PHN SEMANTIK SUBSTITUSI TOTAL & PARSIAL DEDUKSI DAN FALSIFIKASI

98

Logika Matematika

Documents

Transcript of Logika Matematika