1

MAKALAH TEORI UKURAN DAN PELUANG

FUNGSI SEDERHANA DAN INTEGRASI

Pengampu : Drs. YD. Sumanto, M.si.

Oleh :

1. RUKMONO BUDI UTOMO (J2A 009 004)

2. ENDAH DWI NUR R (J2A 009 026)

3. MELIA R (J2A 009 030)

4. ANASTASYA T (J2A 009 032)

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS DIPONEGORO

SEMARANG

2013

2

PENDAHULUAN

I. Aljabar Ruang Terukur , Ruang Ukuran dan Ruang Probabilitas

1.1. Aljabar

F disebut aljabar atas X jika dan hanya jika memenuhi 3 aksioma dibawah ini

i. X   F

ii. A   F AC F

iii. A, B   F A B   F

Lemma

Jika A, B   F dimana F merupakan aljabar atas X maka A B   F

Bukti

Karena A, B   F , maka menurut aksioma (ii), A ,BC C F . Dan menurut

aksioma (iii) A BC C F

A BC

F

Dengan menggunakan aksioma (ii) kembali A BC

C

F

A B F (Terbukti)

Contoh 1

Diberikan himpunan X dibawah ini

X , , ,a b c d F 1 X, , a , F 2 X, , , , ,a b c d

Akan dibuktikan F 1 bukan aljabar atas X ( bukan aljabar ), namun F 2 adalah

aljabar

3

Bukti

i. Membuktikan F 1 bukan aljabar

Untuk a F 1 , , ,C

a b c d F 1 (aksioma ii tidak terpenuhi)

F 1 bukan aljabar (bukti selesai )

ii. Membuktikan F 2 adalah aljabar

Diketahui F 2 X, , , , ,a b c d

o X F 2 ( aksioma1 terpenuhi)

o XC , XC , , ,C

a b c d , , ,C

b c d a semuanya F 2

(aksioma ii terpenuhi )

o Untuk mengecek terpenuhinya aksioma iii, pengecekan akan melibatkan

kombinasi elemen-elemen dalam F 2 , yakni C = (4,2) sebanyak 6 buah

pasangan.

X X , X Xa , X , , Xb c d , a a ,

, , , ,b c d b c d , , , Xa b c d semuanya F 2

(Jelas, aksioma ii terpenuhi )

F 2 adalah aljabar (bukti selesai )

Teorema

Jika F 1 dan F 2 adalah aljabar , maka belum dapat dipastikan F 1 F 2

juga merupakan aljabar

Bukti

Misalkan X merupakan sembarang himpunan tak kosong dan F 1, F 2

merupakan dua buah ajabar dengan segala kemungkinan masing-masing

dimana F 1 F 2. Minimal pasti akan dapat ditemukan gabungan antar elemen

di F 1 dan F 2 yang tidak terdefinisi di F 1 F 2 sedemikian sehingga

aksioma (iii) tidak terpenuhi. Bukti selesai.

4

Definisi

F merupakan aljabar atas X dan disebut dengan aljabar jika F merupakan

aljabar dan jika An F 1,2,3,n maka 1

An

n

F

Contoh 2

Misalkan ( X, F 1 ) dan ( X, F 2 ) merupakan dua ruang terukur dengan

F = F 1 F 2. Buktikan bahwa F merupakan aljabar .

Bukti

X F 1

X F 2

Dengan menggunakan lemma yang telah didfinisikan diatas, X F 1 F 2

(aksioma i terpenuhi )

Kemudian, misalkan A F 1, A F 2, maka menurut aksioma ii, AC F 1

dan AC F 2. Kita tahu bahwa A F 1 F 2, maka AC F 1 F 2. (aksioma

ii terpenuhi )

Untuk A , 1,2,3,n n F 1 F 2.

A F 1, A F 2

A An F 1 F 2 ( aksioma iii terpenuhi )

F adalah aljabar (bukti selesai )

1.2. Ruang Terukur, Ruang Ukuran dan Probabilitas

Definisi

Diberikan ruang terukur ( X, F )

F 0, disebut ukuran apabila 0 dan jika A , 1,2,3,n n F

dengan A An m , m n berlaku 11

A An n

nn

. Untuk ( X, F , ) disebut

sebagai ruang ukuran dan ( X, F , ), X 1 disebut sebagai ruang probabilitas.

5

Definisi

Diketahui ( X, F 1 ) , ( X, F 2 ) adalah dua buah ruang terukur dan didefinisikan

suatu f : ( X, F 1 ) ( X, F 2 ) dikatakan terukur jika dan hanya jika A F 2

berlaku f ‘ ( A) F 1

f ‘ ( A) = { x X | f (x) A } F 1

Contoh 3

Diketahui X = , , ,a b c d

F 1= X, , , , ,a b c d , F 2 = 2X

Diketahui pula (X , F 1 ) , (X , F 2 ) adalah dua buah ruang terukur

f : x X dengan f ( x) = a , x X.

Apakah f ( x) terukur ?

Jawab

Diketahui (X, F 1), (X, F 2 ) merupakan dua buah ruang terukur.

Ambil sembarang A F 2 = 2X

f ‘ ( A) = { x X | f (x) A }

= { x X | f (x) = aA }

= X kemudian

f ‘ ( A) = { x X | f (x) A }

= { x X | f (x) = aA }

f ‘ ( A) F 1

f ‘ ( A) terukur.

II. Fungsi Sederhana dan Integrasi

2.1. Fungsi Sederhana

6

Definisi

Suatu fungsi f : R R dikatakan sebagai fungsi sederhana jika terdapat

himpunan berhingga 1 2 3, , , , nC C C C R dan kelompok himpunan

1 2 3, , , , nA A A A . 1

( )n

i i

i

f x C IA x

Teorema

Ruang ukuran (R, B , (R) ) , ( )x R f x a dimana B merupakan borel yakni

merupakan aljabar terkecil yang masih memuat interval terbuka dikatakan

terukur jika dan hanya jika a R berlaku ( ) ( )x R f x a B R .

Point-point penting :

i. Jika f terukur, maka terdapat barisan fungsi sederana fn sedemikian

Sehingga 1 2 3f f f fn dan limf fnn

ii. Jika f : ,a b R kontinu pada ,a b , maka terdapat barisan fungsi

sederhana fn sedemikian sehingga 1 2 3f f f fn dan limf fnn

1

n

n i i

i

f C IA

, i

b aA

n

untuk setiap a dan b merupkan batas bawah dan

atas dari partisi dalam integral Riemann, dan n menunjukkan banyaknya

partisi tersebut

Definisi

Deberikan ruang terukur , ,f . Fungsi : ,f R disebut fungsi

sederhana ( simple function ) jika f memiliki daerah hasil atau range berhingga.

Diberikan fungsi karakteristik 1,

0,A

x AI x

x A

dimana A .

Jika :f R fungsi sederhana , 1 2 3, , , , nf C C C C dan iA dimana

, 1,2,3, ,i iA x f x C i n , maka 1

n

i i

i

f C IA x

.

7

Contoh 4

Diberikan ( )f x x yakni fungsi bilangan bulat terbesar x

dengan selang 2,5 R

Tentukan nilai iA dan hitunglah f nya.

Jawab

1 2,5 2A x f x 2 2,5 1A x f x

2,5 2 1x x 2,5 1 0x x

2, 1 1,0

Selanjutnya analog dengan 1A dan

2A diperoleh

3 0,1A 5 2,3A 7 4,5A

4 1,2A 6 3,4A 8 5A

Kemudian untuk mencari nilai f , gunakan 1

n

i i

i

f C IA x

1 2 4 5 6 7 82 2 3 4 5f IA IA IA IA IA IA IA

Point-point penting

i. Setiap fungsi sederhana merupakan kombinasi linear fungsi-sungsi

karakteristik

ii. Fungsi sederhana 1

n

i i

i

f C IA x

merupakan fungsi terukur jika iA

adalah himpunan terukur 1,2,3, ,i N

Teorema

Setiap fungsi terukur :f R terdapat barisan fungsi sederhana nf sedemikian

sehingga 0

lim nn

f f

pada

8

Bukti

Untuk ( ) 0,f x x didefinisikan 1

( )2 2

nk n n

k kA x f x

( )nA x f x n , 1,2,3, ,n N , 1,2, , 2n

k n

1

1

2

n

n nk nnk

kf IA nIA

f (x) , f (x) ≥ 0

𝑓+ (x) =

0, f (x) < 0

0, f (x) ≥ 0

𝑓− (x) =

- f(x), f (x) < 0

𝑓 = 𝑓+- 𝑓−

| 𝑓 |= 𝑓++ 𝑓−

Sehingga jika f sebarang fungsi terukur

𝑓 = 𝑓+- 𝑓−

(𝑓𝑛 ) barisan fungsi sederhana

Lim 𝑓𝑛 = 𝑓+

Dan (𝑞𝑛 ) barisan fungsi sederhana

Lim 𝑞𝑛 = 𝑓−

maka

ℎ𝑛 = 𝑓𝑛 - 𝑞𝑛

Lim ℎ𝑛 = Lim ( 𝑓𝑛 −𝑞𝑛 ) = Lim 𝑓𝑛 - Lim 𝑞𝑛

= 𝑓+- 𝑓− = 𝑓

Jika terukur, terbatas dan (𝑓𝑛 ) barisan fungsi sederhana konvergen ke 𝑓, maka

𝑓𝑛 → 𝑓 (seragam).

9

Contoh 5

Diberikan sebuah fungsi 2( )f x x , 0,x dan ditentukan n =2 .

Tentukan nkA

Jawab

Karena n =2 , k =1,2,3,4,5,6,7,8

21

10, 0 ( )

4A x f x

1

0,2

22

10, 0 ( )

4A x f x

𝐴23 = 𝑥 ∈ [0, ∞) 1

2≤ 𝑓 𝑥 <

3

4

= [ 1

2,

1

2 3 )

𝐴24 = 𝑥 ∈ [0, ∞) 3

4≤ 𝑓 𝑥 < 1

= [ 1

2 3, 1 )

𝐴25 = 𝑥 ∈ 0, ∞ 1 ≤ 𝑓 𝑥 <5

4

= [ 1,1

2 5 )

𝐴26 = 𝑥 ∈ 0, ∞ 5

4≤ 𝑓 𝑥 <

3

2

= [ 1

2 5,

3

2 )

𝐴27 = 𝑥 ∈ [0, ∞) 3

2≤ 𝑓 𝑥 <

7

4

= [ 3

2,

1

2 7 )

10

𝐴28 = 𝑥 ∈ [0, ∞) 7

4≤ 𝑓 𝑥 < 2

= [ 1

2 7, 2 )

2.2. Integasi / Integration

Definisi :

Misalkan : ,f R , fungsi sederhana pada , ,f ditulis dengan

1

n

i i

i

f C IA x

. intregral fungsi f terhadap ditulis dengan 𝑓 𝑑𝜇 dan

didefinisikan dengan 1

n

k k

k

fd C A

.

Contoh 6

Pandang kembali contoh 5.

Diberikan fungsi f terhadap x yakni 2( )f x x

Hitunglah integral nf terhadap untuk 2n pada selang 0,4

Jawab

4

0

nf d = 1 1 1 1 1 1 3 1

0 , 2 2, 3 3,1 2 2,44 2 2 2 2 2 4 2

=1 2 1 3 2 6 3 3

0 2 4 24 2 4 8

61 31 2 3 5 6 13 7

8 8 8 8 8 8

***