LOGIKA MATEMATIKA(Logika

Simbolik/Proposisi)Matematika Dasar Fisika

2010/2011

Pengertian

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan bernalar dengan benar berdasarkan akal budi dan bukan berdasarkan perasaaan atau pengalaman

Kegunaan Logika : bidang pemrograman, kebanaran algoritma, kecerdasan buatan ( artificial intelligence), perancangan komputer, dll.

Istilah dalam Logika matematika Kalimat terbuka dan tertutup Pernyataan adalah kalimat deklaratif (menerangkan

sesuatu) yang bernilai benar atau salah tapi tidak keduanya.

Proposisi adalah istilah lain dari pernyataan. Kuantor adalah istilah untuk menyatakan “berapa

banyak” dari suatu objek. Kuantor universal dan eksistensial Pernyataan majemuk Pernyataan + kata

penghubung sebagai dasar logika matematika

Penghubung Logika

Jenis Penghubung

Simbol Bentuk

Negasi ~ tidak…

Konjungsi Λ ...dan...

Disjungsi V ...Atau...

Implikasi → Jika...maka…

Biimplikasi ↔ ...jika dan hanya jika…

Tabel Kebenaran

p q ~p pΛq pVq p→q p↔q

T T F T T T T

T F F F T F F

F T T F T T F

F F T F F T T

Tautologi dan kontradiksi

Suatu pernyataan disebut tautologi jika pernyataan tersebut selalu bernilai benar untuk semua nilai yang mungkin dari pernyataan komponen

Suatu pernyataan disebut Kontradiksi jika pernyataan tersebut selalu bernilai salah untuk semua nilai yang mungkin dari pernyataan komponen

Contoh Tabel Tautologi & Kontradiksi

p q pΛq (p Λq) →p pΛ~p

T T T T F

T F F T F

F T F T F

F F F T F

Konvers, Kontraposisi dan invers Konvers dari pq adalah qp Kontraposisi dari pq adalah ~q~p Invers dari pq adalah ~p~q

Latihan

Nyatakan konvers, kontraposisi dan invers dari implikasi berikut Jika x bil prima, maka x tidak mempunyai

pembagi selain 1 dan x sendiri Jika saya mempunyai waktu dan saya tidak lelah,

maka saya akan ke toko buku Jika saya mempunyai cukup uang, maka saya

akan membeli mobil dan membeli rumah

Implikasi Logis dan Ekuivalensi Implikasi Logis adalah suatu implikasi yang

selalu bernilai tautologi Contoh : (pΛq)p , ~p(pq)

Dua pernyataan dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan tersebut bernilai sama atau p↔q tautologi Contoh : (pq) ↔(~q~p) , (pq) ↔(~pvq)

Hukum Logika Proposisi1.Hukum Identitas pvF ↔p pΛT ↔p

2.Hukum dominasip Λ F ↔Fp v T ↔T

3.Hukum Negasipv~p ↔ Tp Λ ~p ↔ F

4.Hukum idempotenpvp ↔ pp Λ p ↔p

5.Hukum involusi~(~p) ↔ p

6.Hukum absorpsipv(p Λq) ↔ pp Λ (pvq) ↔p

7.Hukum komutatif(p Λq) ↔ q Λ p(pvq) ↔q v p

8. Hukum Assosiatifp Λ(q Λ r) ↔ (p Λq) Λ r p v(q v r) ↔ (p v q) v r

9. Hukum distributifp v(q Λ r) ↔ (p v q) Λ (p v r) p Λ(q v r) ↔ (p Λ q) v (p Λ r)

10.Hukum De’Morgan~(p Λq) ↔ ~p v ~q~(pvq) ↔ ~p Λ ~q

Contoh

Tunjukkan bahwa pv~(pvq) dan pv~q Tunjukkan bahwa pΛ(pvq)↔p

Inferensi/Kesimpulan

Modus Ponen : (pΛ(pq))q Modus Tollen : (~qΛ(pq))p Silogisme Hipotesis: ((pq)(qr))(pr) Silogisme Disjungsif: ((pvq) Λ~p)q Simplifikasi : (p Λ q)p

Latihan

Dengan menggunakan tabel kebenaran dan hukum logika proposisi buktikan bahwa pernyataan berikut adalah ekuivalen pΛ(pvq)↔p [~(pv(qΛr))]↔[(~pΛ~q)(~pΛ~r)] [p(qΛr)] ↔[(pq)Λ(pr)] [(pvq)r] ↔[(pr)Λ(qr)] [p(qvr)] ↔[~r(pq)]

Materi selanjutnya

Pembuktian Bukti langsung Bukti tak langsung Bukti induksi matematika